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第一章 复数与复变函数1

1 复数表示法及其代数运算1

1 复数域1

2 虚单位3

3 共轭复数3

4 复平面4

5 复数的向量表示6

6 复数的三角表示7

7 复数的乘幂8

8 举例10

2 序列极限及无穷大15

1 复数序列的极限15

2 复数项级数19

3 无穷大及无穷远点24

3 复变函数的极限与连续性27

1 复变函数27

2 函数的极限29

3 函数的连续性30

4 连续曲线32

5 函数Argz的单值连续分支34

4 复函数的导数与微分37

1 导数与微分37

2 导数与微分的法则38

3 可导与可微的充分必要条件40

4 光滑曲线42

5 复函数的积分43

1 复函数的积分43

2 积分的性质46

3 不定积分与原函数47

6 复变函数项级数50

1 复变函数项级数50

2 幂级数52

习题59

习题60

1 有理函数69

1 多项式69

第二章 复变初等函数69

2 有理函数71

3 分解有理函数为部分分式72

4 幂函数zn的映照性质74

5 茹科夫斯基函数与柯贝函数75

2 指数函数79

1 指数函数的定义79

2 指数函数的基本性质82

3 指数函数的映照性质83

3 三角函数与双曲函数84

1 三角函数的定义84

2 三角函数的基本性质86

3 双曲函数的定义及性质88

4 三解函数的映照性质90

4 根式函数94

1 根式函数的定义94

2 根式函数的单值连续分支95

3 函数？R(z)的单值连续分支97

4 根式函数的映照性质102

5 对数函数104

1 对数函数的定义104

2 对数函数的运算性质105

3 对数函数的单值连续分支及其可导性106

4 函数LnRe(z)的单值连续分支108

5 对数函数的映照性质109

6 2/1的原函数111

1 一般幂函数的定义113

6 一般幂函数与一般指数函数113

3 一般指数函数114

2 一般幂函数的性质114

1 反三角函数的定义115

7 反三角函数与反双曲函数115

2 反余弦函数的单值连续分支116

3 反余弦函数的映照性质117

4 反双曲函数119

习题120

1 解析函数的定义125

1 解析函数的定义125

第三章 解析函数及其基本特征125

2 初等函数的解析性126

1 柯西积分定理127

2 柯西积分定理及柯西积分公式127

2 多连通区域上的柯西定理133

3 柯西积分公式136

3 解析函数的泰勒展式138

1 泰勒定理138

2 初等函数的泰勒展式141

4 解析函数的罗朗展式148

1 幂级数的推广148

2 罗朗定理151

3 举例155

5 解析函数的基本特征157

1 解析函数的微分形式的特征条件158

2 解析函数的积分形式的特征条件159

3 解析函数的级数形式的特征条件160

第四章 解析函数的重要性质167

1 区域内解析的函数的性质167

1 解析函数的唯一性167

2 最大模原理171

3 希瓦尔兹引理175

4 维尔斯脱拉斯定理177

2 解析函数的零点及其性质181

1 解析函数的零点181

2 解析函数零点的孤立性184

3 解析函数在孤立奇点附近的性质185

1 解析函数的孤立奇点及其类型185

2 可去奇点187

3 极点189

4 本性奇点191

5 解析函数在无穷远点附近的性质194

1 整函数198

4 整函数和亚纯函数的概念198

2 亚纯函数200

习题202

第五章 留数理论及其应用207

1 留数理论207

1 留数的概念207

2 留数定理208

3 留数的计算209

4 无穷远点的留数214

5 幅角原理和儒歇定理218

1 预备知识225

2 应用留数理论计算实积分225

2 积分计算(Ⅰ)238

3 积分计算(Ⅱ)239

习题247

第六章 解析开拓253

1 解析开拓的概念与方法253

1 解析开拓的定义253

2 对称开拓254

3 幂级数开拓256

4 将实变函数开拓为复变函数261

1 完全解析函数263

2 完全解析函数263

2 单值性定理266

3 黎曼曲面271

1 支点的概念271

2 黎曼曲面271

3 几个初等函数的黎曼曲面272

习题277

第七章 保形映照280

1 解析映照的基本特性280

1 局部单叶性280

2 保区域性282

3 保连通性283

4 保角性284

5 伸缩率不变性287

6 保形性288

2 分式线性映照289

1 一般映照性质289

2 分式线性映照的特性291

3 确定分式线性映照的条件及方法300

3 保形映照基本问题307

1 保形映照基本问题307

2 边界对应问题308

3 黎曼存在定理及唯一性定理310

4 单叶解析映照基本问题举例312

习题323

第八章 复变函数方法在边值问题中的应用328

1 柯西型积分与黎曼边值问题328

1 柯西型积分329

2 柯西型积分的主值331

3 柯西型积分的极限值333

4 黎曼边值问题340

5 齐次黎曼边值问题341

6 非齐次黎曼边值问题344

2 调和函数与狄里克莱问题346

1 调和函数和解析函数的联系346

2 中值公式与普阿松公式349

3 极值原理351

4 狄里克莱问题352

5 在圆上的狄里克莱问题352

6 上半平面的狄里克莱问题356

习题359

索引362

部分习题参考答案366