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绪言1

历史介绍1

第一章算术的基本定理16

1－1 引言16

1－2 整除性17

1－3 最大公因数17

1－4 质数20

1－5 算术的基本定理21

1－6 质数之倒数所成的级数23

1－7 欧几里得除法24

1－8 多於两个数的最大公因数25

第二章算术函数与Dirichlet乘积29

2－1 引言29

2－2 M?bius函数μ（n）29

2－3 Euler φ函数φ（n）30

2－4 φ与μ的一个关系式31

2－5 φ（n）的一个乘积公式32

2－6 算术函数的Dirichlet积34

2－7 Dirichlet反元素与M?bius反转公式36

2－8 Mangoldt函数∧（n）37

2－9 积性函数39

2－10 积性函数与Dirichlet积41

2－11 完全积性函数的反元素43

2－12 Liounille函数λ（n）44

2－13 因数函数σα（n）45

2－14 广义的合成46

2－15 形式幂级数48

2－16 算术函数的Bell级数50

2－17 Bell级数与Dirichlet积52

2－18 算术函数的导函数53

2－19 Selberg恒等式54

第三章算术函数的平均61

3－1 引言61

3－2 记号“大O”。函数的渐近等式63

3－3 Euler和公式64

3－4 一些基本的渐近公式65

3－5 d （n）的平均阶数68

3－6 因数函数σα（n）的平均阶数70

3－7 φ（n）的平均阶数72

3－8 应用於从原点可见的格子点的分配73

3－9 μ（n）与∧ （n）的平均阶数76

3－10 Dirichlet积的部份和77

3－11 应用於μ（n）与∧（n）77

3－12 Dirichlet积之部份和的其他公式81

第四章质数分布的一些基础定理87

4－1 引言87

4－2 Chebyshev函数φ（x）与θ（x）89

4－3 θ（x）与π（x）之关系90

4－4 质数定理的一些等价关系94

4－5 关於π与Pn的不等式98

4－6 Shapiro的Tauber型定理102

4－7 Shapiro定理的应用105

4－8 部分和∑p＝x（1/p）的一个渐近公式107

4－9 M？bius函数的部份和109

4－10 质数定理的初等证明概略117

4－11 Sellberg渐近公式118

第五章同余129

5－1 同馀的定义与基本性质129

5－2 剩馀组与完全剩馀系133

5－3 线性同馀134

5－4 既约剩馀系与Euler－Fermat 定理137

5－5 模P的多项式同馀式。Lagrange 定理138

5－6 Lagrange 定理的应用140

5－7 线性联立同馀式。中国剩馀定理142

5－8 中国剩馀定理的应用143

5－9 对於模为质数乘幂的多项同馀式145

5－10 交叉分类原理148

5－11 既约剩馀系的分解性质151

第六章有限交换群与其特征156

6－1 定义156

6－2 群与子群的例子157

5－3 群的基本性质157

6－4 子群的构造159

6－5 有限交换群的特征161

6－6 特征群163

6－7 特征的正交关系164

6－8 Dirichlet 特征166

6－9 关於 Dirichlet 特征的和169

6－10 对于实非主特征X,L （1,X）不为零171

第七章算术数列的质数的Dirichlet定理177

7－1 引言177

7－2 具有4n＋1及4n＋1形式之质数的Dirichlet定理178

7－3 Dirichlet　　定理之证明计划179

7－4 引理7－4之证明182

7－5 引理7－5之证明183

7－6 引理7－6之证明184

7－7 引理7－8之证明185

7－8 引理7－7之证明186

7－9 在算术数列中质数的分布187

第八章周期函数与 Gauss 和190

8－1 模k周期函数190

8－2 周期算术函数的有限Fourier级数存在191

8－3 Ramanujan 和及其推广194

8－4 和Sk（n）的积性性质197

8－5 关於Dirichlet特征的Gauss和200

8－6 Gauss 和不为零的Dirichlet特征201

8－7 诱导模及原始特征203

8－8 诱导模的进一步的性质204

8－9 特征的导子207

8－10 原始特征与可分离的Gauss和208

8－11 Dirichlet特征的有限Fourier级数209

8－12 原始特征的部份和的Pólya不等式210

第九章平方剩馀与平方逆换律217

9－1 平方剩馀217

9－2 Legendre符号及其性质218

9－3 计算（－1/p）与（2/p）220

9－4 Gauss引理221

9－5 平方逆换律225

9－6 平方逆换律的应用228

9－7 Jacobi符号229

9－8 应用於Diophantus方程式233

9－9 Gauss和与平方逆换律235

9－10 Gauss和的互逆律239

9－11 平方逆换律的另一证明245

第十章原始根251

10－1 一数mod m的指数。原始根251

10－2 原始根与既约剩馀系252

10－3 对於α≥3 mod 22的原始根不存在253

19－4 对於奇质数p ,mod p原始根存在253

10－5 原始根与平方剩馀256

10－6 mod p2 原始根存在256

10－7 mod 2p2 的原始根存在259

10－8 在其他情形下原始根不存在259

10－9 mod m 的原始根的个数261

10－10 指标计算264

10－11 原始根与 Dirichlet 特征268

10－12 mod p2的实值 Dirichlet 特征271

10－13 mod p2的原始Dirichlet特征272

第十一章Dirichlet级数与Euler乘积277

11－1 引言2777

11－2 Dirichlet级数的绝收对敛半平面278

11－3 由Dirichlet的数所定义的函数279

11－4 Dirichlet级数的乘积281

11－5 Euler乘积284

11－6 Dirichlet级数的收敛半平面287

11－7 Dirichlet级数的解析性质290

11－8 非负系数的Dirichlet级数293

11－9 Dirichlet 级数表示成 Dirichlet 级数的指数295

11－10 Dirichlet 级数的均值公式297

11－11 Dirichlet 级数之系数的积分公式300

11－12 Dirichlet 级数之部份和的积分公式302

第十二章函数ξ（R）与L（P,X）311

12－1 引言311

12－2 ?函数的性质312

12－3 Hurwitzξ函数的积分表示313

12－4 Hurwitzξ函数的线积分表示316

12－5 Hurwitzξ函数的解析延拓318

12－6 ξ（s）与L（s,X）的解析延拓319

12－7 ξ（s，a）的Hurwitz公式320

12－8 Riemann ξ函数的泛函方程式324

12－9 Hurwitz ξ函数的泛函方程式326

12－10 L函数的泛函方程式327

12－11 计算ξ（－n, a）329

12－12 Bernoulli数与Bernoulli多项式的性质331

12－13 L（o…X）的公式334

12－14 ξ（s, a）以有限和的逼近335

12－15 ｜ξ（s,a）｜的不等式338

12－16 ｜ξ（s）｜与｜L（s,X）｜的不等式340

第十三章质数定理的解析证明347

13－1 证明的构想347

13－2 引理350

13－3 （x）/x2的线积分表示354

13－4 ｜ξ （s）｜与｜ξ ＇（s）｜在靠近直线σ=1之上界356

13－5 ξ （s）在直线σ=1上不等於0358

13－6 ｜1/ξ（s）｜与｜ξ＇（s）/ξ（s）｜的不等式359

13－7 质数定理的完全证明362

13－8 ξ （s）的无零点区365

13－9 Riemann臆测367

13－10 因数函数的应用368

13－11 应用於Eulerφ函数372

13－12 特征和的P61ya不等式的扩展375

第十四章分割381

14－1 引言381

14－2 分割的几何表示385

14－3 分割的形成函数385

14－4 Euler五角数定理390

14－5 Euler五角数定理的组合证明393

14－6 p（n）的Euler递回公式396

14－7 p（n）的上界397

14－8 Jacobi 的三数积公式400

14－9 Jacobi 恒等式的影响403

14－10 展生函数的对数积分404

14－11 Ramanujan 的分割恒等式407

参考资料415

符号索引424

索引426