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第三篇多变量微积分学1

第一部分多变量微分学1

第十章偏导数与全微分1

1．偏导数和全微分的概念1

一、偏导数的定义1

二、全微分的定义4

三、高阶偏导数与高阶全微分7

习题10

2．求复合函数偏导数的链式法则11

习题17

3．由方程（组）所确定的函数的求导法18

一、一个方程F(x,y,x)=0的情形18

二、方程组的情形20

习题24

4．空间曲线的切线与法平面26

习题30

5．曲面的切平面与法线30

习题33

6．方向导数和梯度34

一、方向导数34

二、梯度36

习题40

7．泰勒公式41

习题42

8．向量值函数的导数43

一、向量值函数的概念43

二、向量值函数的导数45

习题51

第十一章极值与条件极值52

1．极值与最小二乘法52

一、极值52

二、最小二乘法58

习题61

2．条件极值62

习题69

第十二章隐函数存在定理、函数相关71

1．隐函数存在定理71

一、F(x,y)=0情形71

二、多变量及方程组情形76

习题80

2．函数行列式的性质、函数相关82

一、函数行列式的性质82

二、函数相关84

习题90

第二部分多变量积分学91

第十三章含参变量的积分91

习题97

第十四章积分（二重、三重积分，第一类曲线、曲面积分）的定义和性质99

1．二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分的概念99

2．积分的性质104

习题106

第十五章积分的计算及应用107

1．二重积分的计算107

一、化二重积分为二次积分107

二、用极坐标计算二重积分114

三、二重积分的一般变量替换117

习题126

2．三重积分的计算128

一、化三重积分为三次积分128

二、三重积分的变量替换132

习题138

3．第一类曲线积分的计算139

习题142

4．第一类曲面积分的计算142

一、曲面的面积142

二、化第一类曲面积分为二重积分147

习题150

5．积分在物理上的应用150

一、质心150

二、矩153

三、引力155

习题157

6．第二类曲线积分158

一、变力作功与第二类曲线积分的定义158

二、第二类曲线积分的计算162

三、两类曲线积分的联系167

习题170

7．第二类曲面积分171

一、曲面的侧的概念171

二、第二类曲面积分的定义173

三、两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算175

习题182

第十六章各种积分间的联系和场论初步183

1．各种积分间的联系183

一、格林（Green）公式183

二、高斯（Gauss）公式186

三、斯托克司（Stokes）公式190

习题194

2．曲线积分和路径的无关性197

习题203

3．场论初步204

一、场的概念204

二、向量场的散度与旋度206

三、保守场与管量场216

四、算子？219

习题221

第四篇级数论223

第一部分数项级数和广义积分223

第十七章数项级数223

1．预备知识：上极限和下极限223

习题226

2．级数的收敛性及其基本性质227

习题233

3．正项级数233

习题240

4．任意项级数241

一、绝对收敛级数241

二、交错级数243

三、阿贝尔（Abel）判别法和狄立克莱判别法245

习题250

5．绝对收敛级数和条件收敛级数的性质251

习题258

6．无穷乘积258

习题264

第十八章广义积分265

1．无穷限的广义积分265

一、无穷限广义积分的概念265

二、无穷限广义积分和数项级数的关系269

三、无穷限广义积分的收敛性判别法270

四、阿贝尔判别法和狄立克莱判别法272

习题276

2．无界函数的广义积分277

一、无界函数广义积分的概念，柯西判别法277

二、阿贝尔判别法和狄立克莱判别法280

习题281

3．广义重积分282

习题286

第二部分函数项级数和含参变量广义积分288

第十九章函数项级数、幂级数288

1．函数项级数的一致收敛288

一、函数项级数的概念288

二、一致收敛的定义289

三、一致收敛级数的性质295

四、一致收敛级数的判别法297

习题301

2．幂级数303

一、收敛半径303

二、幂级数的性质307

三、函数的幂级数展开308

习题315

3．逼近定理317

习题320

第二十章含参变量的广义积分321

一、一致收敛的定义321

二、一致收敛积分的判别法322

三、一致收敛积分的性质323

四、欧拉（Euler）积分327

五、阿贝尔判别法、狄立克莱判别法328

习题332

第二十一章富里埃级数和富里埃变换334

1．富里埃级数334

一、富里埃级数的引进334

二、三角函数系的正交性335

三、富里埃系数336

四、狄立克莱积分338

五、黎曼引理340

六、狄尼（Dini）判别法及其推论344

七、狄立克莱-约当判别法346

八、富里埃级数的一致收敛性348

九、函数的富里埃级数展开348

十、周期为T的函数的展开352

十一、富里埃级数的复数形式354

十二、富里埃级数的逐项求积和逐项求导358

习题361

2．富里埃变换364

一、富里埃变换的概念364

二、富里埃变换的一些性质368

习题369

索引370