《数学分析 下》

第十一章数项级数1

11·1级数的收敛性及其性质1

一、级数的收敛性概念1

二、级数收敛的条件6

三、收敛级数的基本性质9

习题11·112

11·2正项级数13

一、正项级数收敛的充要条件14

二、比较判别法16

三、达朗贝尔判别法与柯西判别法20

习题11·225

11·3一般项级数26

一、交错级数26

二、绝对收敛级数29

三、条件收敛级数的判别法31

四、绝对收敛级数的可交换性35

习题11·338

复习题十一40

第十二章广义积分42

12·1无穷积分42

一、无穷积分概念及其性质42

二、无穷积分与数项级数的关系49

三、非负函数无穷积分收敛判别法50

四、变号函数无穷积分收敛判别法55

习题12·159

12·2瑕积分61

一、瑕积分概念61

二、两种广义积分的联系64

三、瑕积分收敛判别法66

习题12·271

复习题十二72

第十三章函数列与函数项级数74

13·1函数列与函数项级数的一致收敛性74

一、函数列及其一致收敛性74

二、函数项级数及其一致收敛性81

习题13·188

13·2函数项级数一致收敛的判别法89

习题13·294

13·3一致收敛函数列与函数项级数的性质95

一、一致收敛函数列的性质95

二、一致收敛函数项级数的性质100

习题13·3104

复习题十三105

第十四章幂级数108

14·1幂级数的收敛域108

一、幂级数概念108

二、幂级数的收敛半径与收敛区间108

三、收敛半径的计算111

习题14·1114

14·2幂级数的性质与运算114

一、幂级数的一致收敛性114

二、幂级数和函116

数的性质116

三、幂级数的四则运算119

习题14·2120

14·3函数的幂级数展开121

一、泰勒级数121

二、函数展开为泰勒级数的条件122

三、初等函数的幂级数展开124

习题14·3131

14·4幂级数在近似计算中的应用132

习题14·4140

复习题十四140

第十五章傅里叶级数142

15·1傅里叶级数概念142

一、三角级数142

二、三角函数系的正交性143

三、傅里叶级数144

四、偶函数与奇函数的傅里叶级数148

习题15·1149

15·2傅里叶级数的收敛定理150

一、贝塞耳不等式150

二、黎曼引理152

三、傅里叶级数的部分和公式154

四、收敛定理156

习题15·2159

15·3函数的傅里叶级数展开159

一、函数在〔-π，π〕上的展开159

二、函数在区间〔0，π〕上的展开163

三、函数在区间〔-l，l〕上的展开165

习题15·3167

复习题十五168

第十六章多元函数及其极限与连续171

16·1多元函数概念171

一、平面点集171

二、二元函数概念177

三、n维空间与n元函数179

习题16·1181

16·2二元函数的极限182

一、二元函数的极限183

二、累次极限185

习题16·2188

16·3二元函数的连续性190

一、二元函数的连续性概念190

二、二元连续函数的局部性质及初等函数的连续性192

三、有界闭区域上连续函数的性质194

习题16·3196

复习题十六196

第十七章多元函数微分学198

17·1偏导数与全微分198

一、偏导数198

二、全微分203

习题17·1210

17·2复合函数的微分法212

一、复合函数的偏导数212

二、复合函数的全216

微分216

习题17·2218

17·3方向导数与梯度219

一、方向导数220

二、梯度223

习题17·3225

17·4高阶偏导数与高阶全微分225

一、高阶偏导数225

二、高阶全微分232

习题17·4234

17·5泰勒公式与极值问题236

一、中值公式236

二、泰勒公式238

三、极值问题240

习题17·5251

复习题十七252

第十八章隐函数定理及其应用255

18·1隐函数255

一、隐函数概念255

二、隐函数定理256

三、隐函数求导举例260

习题18·1262

18·2隐函数组263

一、隐函数组概念263

二、隐函数组定理264

三、反函数组与坐标变换271

四、函数行列式的性质273

习题18·2275

18·3几何应用277

一、平面曲线的切线与法线277

二、空间曲线的切线与法平面278

三、曲面的切平面和法线282

习题18·3286

18·4条件极值287

一、条件极值概念287

二、条件极值的必要条件288

习题18·4295

复习题十八296

第十九章含参变量的积分299

19·1含参变量的定积分299

一、积分限不含参变量的积分299

二、积分限含参变量的积分305

习题19·1309

19·2含参变量的广义积分310

一、含参变量广义积分一致收敛概念310

二、一致收敛的判别法314

三、含参变量无穷积分的性质316

习题19·2323

19·3欧拉积分一Γ函数与B函数325

一、Γ函数及其性质325

二、B函数及其性质326

三、Γ函数与B函数的关系328

四、B函数与Γ函数计算积分330

习题19·3331

复习题十九332

第二十章重积分335

20·1二重积分335

一、二重积分概念335

二、二重积分的性质339

三、化二重积分为累次积分341

四、二重积分的换元法352

习题20·1362

20·2三重积分366

一、三重积分概念366

二、化三重积分为累次积分368

三、三重积分的换元法371

习题20·2379

20·3重积分的应用381

一、曲面的面积381

二、物体的重心384

三、转动惯量387

习题20·3390

复习题二十391

第二十一章曲线积分和曲面积分394

21·1第一型曲线积分与第一型曲面积分394

一、第一型曲线积分的概念及其性质394

二、第一型曲线积分的计算397

三、第一型曲面积分概念401

四、第一型曲面积分的计算403

习题21·1405

21·2第二型曲线积分407

一、第二型曲线积分概念407

二、第二型曲线积分的计算411

三、两类曲线积分的联系414

四、格林公式416

五、曲线积分与路线的无关性423

习题21·2429

21·3第二型曲面积分430

一、曲面的侧430

二、第二型曲面积分概念及其性质432

三、第二型曲面积分的计算436

四、两类曲面积分的联系439

五、奥高公式440

六、斯托克斯公式444

习题21·3449

复习题二十一451