《数学分析 下》

第十章广义积分1

10·1无穷积分1

一、无穷积分的概念1

二、无穷积分的性质6

三、 无穷积分收敛判别法8

习题10·118

10·2无界函数积分19

一、无界函数积分的概念19

二、无界函数积分的性质23

三、无界函数积分与无穷积分间的关系24

四、无界函数积分收敛判别法则26

五、Γ函数33

习题10·235

小结36

第十一章数项级数39

11·1上极限与下极限39

一、上、下极限的定义39

二、上、下极限的性质40

习题11·146

11·2无穷级数的概念与性质47

一、无穷级数的概念47

二、级数收敛的充分条件与必要条件50

三、级数的基本性质53

习题11·256

11·3同号级数的收敛判别法57

一、正项级数收敛的充要条件57

二、正项级数收敛判别法58

习题11·369

11·4任意项级数70

一、绝对收敛与条件收敛70

二、交错级数71

三、绝对收敛与条件收敛的性质74

习题11·482

小结83

第十二章函数项级数85

12·1函数项级数的概念85

一、函数项级数的概念85

二、函数列的收敛域及其极限函数88

三、函数项级数与函数列间的关系89

习题12·190

12·2一致收敛91

一、一致收敛概念92

二、一致收敛的充要条件97

三、一致收敛的充分条件100

习题12·2104

12·3一致收敛级数的和函数性质105

习题12·3116

小结116

第十三章幂级数119

13·1幂级数的收敛半径119

习题13·1124

13·2幂级数的和函数的分析性质125

习题13·2132

13·3泰勒级数132

一、泰勒级数132

二、函数展为幂级数的方法136

习题13·3145

13·4幂级数在近似计算上的应用146

习题13·4154

小结154

第十四章富里埃级数157

14·1富里埃级数157

一、三角函数系的正交性157

二、富里埃级数158

习题14·1164

14·2正（余）弦级数164

习题14·2168

14·3以2l为周期的函数的富里埃级数168

习题14·3172

小结172

第十五章多元函数的极限和连续性172

15·1平面点集173

一、距离174

二、平面点集的基本概念175

三、平面点集的基本定理183

习题15·1186

15·2多元函数概念187

习题15·2190

15·3二元函数的极限190

一、二重极限190

二、二次极限197

三、二元函数关于平面点集的极限203

习题15·3204

15·4二元函数的连续性205

一、二元函数的连续概念205

二、在某点连续的函数的性质206

三、区域上连续的函数的性质209

习题15·4216

小结216

第十六章多元函数微分学216

16·1偏导数218

一、偏导数概念218

二、偏导数与连续性间的关系222

三、偏导数与偏增量间的关系224

习题16·1225

16·2全微分226

一、全微分概念226

二、可微性与连续性间的关系228

三、全微分与偏导数间的关系228

习题16·2233

16·3复合函数微分法234

习题16·3244

16·4方向导数245

习题16·4248

16·5高阶偏导数与高阶全微分249

一、高阶偏导数249

二、高阶全微分259

习题16·5262

16·6泰勒公式264

习题16·6268

16·7多元函数的极值与最大（小）值268

一、二元函数的极值268

二、二元函数的最大（小）值277

习题16·7281

16·8隐函数存在定理281

一、隐函数概念284

二、隐函数存在定理289

习题16·8302

16·9微分学在几何上的应用303

一、平面曲线的切线与法线303

二、空间曲线的切线与法平面306

三、曲面的切平面与法线312

习题16·9317

16·10条件极值318

一、条件极值的必要条件322

二、拉格朗日乘数法则326

三、条件极值的充分条件327

习题16·10334

小结336

第十七章重积分340

17·1重积分的概念及其基本性质340

一、实例340

二、二重积分定义344

三、二重积分存在的条件346

四、二重积分的基本性质348

习题17·1349

17·2二重积分的计算350

习题17·2366

17·3二重积分的变量替换367

一、二重积分的一般变量替换公式367

二、二重积分的极坐标变换公式374

习题17·3378

17·4三重积分379

一、三重积分的概念379

二、三重积分的计算381

三、三重积分的变量替换387

四、三重积分的柱面坐标与球面坐标的变换公式389

习题17·4393

17·5重积分的应用394

一、平面区域的面积394

二、空间区域的体积394

三、非均匀平面薄片的质量、静力矩和重心396

四、非均匀物体的质量、静力矩和重心400

五、曲面的面积402

习题17·5406

小结408

第十八章曲线积分与曲面积分408

18·1第一型曲线积分410

一、第一型曲线积分的概念410

二、第一型曲线积分的计算413

三、第一型曲线积分的应用418

习题18·1421

18·2第二型曲线积分422

一、第二型曲线积分的概念422

二、第二型曲线积分的计算426

三、两种类型曲线积分的关系433

习题18·2435

18·3格林公式436

习题18·3446

18·4曲线积分与积分途径无关的条件447

一、曲线积分与积分途径无关的条件447

二、关于定理1、定理2的一些应用453

习题18·4459

18·5第一型曲面积分460

一、第一型曲面积分的概念460

二、第一型曲面积分的计算462

习题18·5469

18·6第二型曲面积分470

一、第二型曲面积分的概念470

二、两种类型的曲面积分间的关系477

三、第二型曲面积分的计算478

习题18·6487

18·7奥氏公式与斯氏公式488

一、奥斯特洛格拉得斯基公式488

二、斯托克斯公式492

三、第二型曲面积分与曲面无关的条件496

习题18·7497

小结498