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第十章函数项级数1

第一节函数项级数的两种收敛性1

一、点态收敛性及其缺点1

二、收敛性5

第二节 函数项级数的一致收敛性判别法9

第三节 一致收敛函数列的基本性质14

习题19

第十一章幂级数26

第一节幂级数的性质与运算26

一、幂级数收敛域的结构26

二、幂级数的分析性质29

三、幂级数的四则运算34

第二节函数的幂级数展开 Weierstrass 逼近定理36

一、Τaylor 级数36

二、数的幂级数展开法37

三、Weierstrass 逼近定理42

第三节幂级数的应用举隅45

一、幂级数在近似计算中的应用45

二、生成函数50

第四节 复数项幂级数 Euler 公式53

习题57

第十二章Fourier 级数63

第一节Fourier 级数63

一、三角级数63

二、三角函数系的正交性64

三、Fourier 系数 Fourier 级数66

四、最佳平方逼近 Bessel 不等式68

第二节收敛定理71

一、Dirichlet 积分71

二、Riemann 引理 局部性定理73

三、收敛定理75

第三节函数的 Fourier 级数展开78

一、周期为2π的f(x)的 Fourier 级数展开79

二、f(x)的正弦或余弦级数展开80

三、周期为Τ的f(x)的 Fourier 级数展开82

四、Fourier 级数的复数形式83

第四节 Fourier 级数的一致收敛性 逐项求积与逐项求导86

习题90

第十三章多元函数的极限与连续96

第一节二元数列 平面点集96

一、平面点列与二元数列的极限96

二、R2上的四条基本定理100

三、开集 闭集 区域102

四、Borel 有限覆盖定理104

第二节二元函数及其极限104

一、二元函数104

二、二元函数的极限106

第三节 二元函数的连续性 有界闭区域上连续函数的基本性质113

第四节n维 Euclid 空间 n元函数概述117

一、n维 Euclid 空间117

二、n元函数概述120

习题121

第十四章偏导数与全微分 Taylor 公式与极值最值125

第一节偏导数与全微分125

一、偏导数125

二、全微分129

第二节高阶偏导数与高阶全微分135

一、高阶偏导数135

二、高阶全微分139

第三节复合函数微分法140

一、复合函数的偏导数140

二、复合函数的全微分144

第四节方向导数与梯度145

一、方向导数145

二、梯度147

第五节Taylor 公式 极值与最值148

一、Taylor 公式148

二、极值与最值150

习题161

第十五章隐函数的微分学及其应用167

第一节隐函数167

一、概念167

二、隐函数的存在性 连续性 可导性168

三、隐函数组的存在性 连续性 可导性175

四、变量代换182

第二节隐函数微分的应用举隅185

一、几何应用185

二、条件极值190

习题200

第十六章含参变量积分205

第一节 含参变量的常义积分205

第二节含参变量的广义积分214

一、含参广义积分的一致收敛性214

二、一致收敛性判别法217

三、一致收敛含参广义积分的主要性质221

第三节Euler 积分226

一、Γ函数226

二、B函数229

第四节Fourier 变换232

一、Fourier 积分公式233

二、Fourier 变换236

三、Fourier 变换的主要性质242

习题243

第十七章重积分250

第一节二重积分的概念与性质250

一、二重积分的定义250

二、二重积分的存在性252

三、二重积分的主要性质254

第二节二重积分的计算255

一、二重积分与累次积分255

二、用极坐标计算二重积分261

三、二重积分的换元法265

第三节三重积分269

一、概念 存在性 主要性质269

二、三重积分的计算270

第四节广义重积分279

一、无界区域上的二重积分279

二、无界函数的二重积分284

第五节重积分的应用举隅288

一、重积分在几何中的应用288

二、重积分在物理中的应用293

习题298

第十八章曲线积分与曲面积分307

第一节第一型曲线积分307

一、定义307

二、存在性与计算法308

三、主要性质310

第二节第二型曲线积分312

一、定义312

二、存在性与计算法315

三、主要性质316

四、两类曲线积分之间的联系319

第三节Green 公式320

一、Green 公式320

二、二重积分换元法的证明326

三、曲线积分与路径无关的条件328

第四节第一型曲面积分333

一、定义333

二、存在性与计算法334

第五节第二型曲面积分338

一、曲面的侧338

二、双侧曲面的定侧339

三、第二型曲面积分341

四、两类曲面积分之间的联系346

第六节Gauss 公式 Stokes 公式347

一、Gauss 公式347

二、Stokes 公式351

习题356

第十九章场论初步365

第一节梯度场 散度场 旋度场365

一、场365

二、梯度场368

三、散度场369

四、旋度场371

第二节管形场 有势场 调和场374

一、管形场374

二、有势场377

三、调和场378

习题379

附录外微分略述382

一、外积与外微分形式382

二、外微分385

三、对梯度、旋度、散度的回顾386

四、对 Newton-Leibnitz 公式、Green 公式、Stokes 公式、Gauss 公式的回顾387

习题389