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第七章 多元函数微分法及其应用1

第一节 多元函数的基本概念1

一、区域1

二、多元函数概念4

三、多元函数的极限与连续9

习题7—115

第二节 偏导数与全微分18

一、偏导数概念与计算18

习题7-2(1)27

二、全微分29

习题7-2(2)40

三、方向导数42

习题7-2(3)48

第三节 多元复合函数的微分法49

一、全导数49

二、复合函数微分法53

三、全微分形式的不变62

习题7-364

第四节 隐函数及其微分法66

一、一个方程的情形66

二、方程组的情形70

习题7-477

第五节 偏导数的几何应用79

一、空间曲线的切线与法平面79

二、曲面的切平面与法线85

习题7-591

第六节 多元函数的极值及其求法92

一、多元函数的极值与最大值、最小值92

二、条件极值拉格朗日乘数法99

习题7-6105

第七节 二元函数的泰勒公式106

习题7-7112

复习题113

第八章 重积分117

第一节 二重积分的概念与性质117

一、二重积分的概念117

二、二重积分的性质122

习题8-1124

第二节 利用直角坐标计算二重积分127

习题8-2139

第三节 利用极坐标计算二重积分142

一、极点在区域D的外部(图8-17)143

二、极点在积分区域的边界上(图8-18)144

三、极点在积分区域D的内部(图8-19)145

习题8—3150

第四节 二重积分的换元法153

习题8-4158

第五节 二重积分的应用159

一、曲面的面积159

二、平面薄片的重心164

三、平面薄片的转动惯量167

四、平面薄片对质点的引力168

习题8-5171

第六节 三重积分的概念及计算法172

习题8-6178

第七节 利用柱、球面坐标计算三重积分181

一、利用柱面坐标计算三重积分181

二、利用球面坐标计算三重积分184

习题8-7192

第八节 含参变量的积分195

习题8-8201

复习题203

一、第一型曲线积分的概念和性质204

第九章 曲线积分与曲面积分204

第一节 第一型曲线积分(对弧长的曲线积分)204

二、第一型曲线积分的计算法207

习题9-1211

第二节 第二型曲线积分212

一、第二型曲线积分的概念与性质212

二、第二型曲线积分的计算法215

三、两类曲线积分之间的关系220

习题9-2222

第三节 格林公式223

第四节 平面曲线积分与积分路径无关的条件230

习题9-3230

习题9-4237

第五节 第一型曲面积分238

一、第一型曲面积分的概念和性质238

二、第一型曲面积分的计算法240

习题9-5243

第六节 第二型曲面积分244

一、第二型曲面积分的概念和性质244

二、第二型曲面积分的计算法248

习题9-6253

第七节 高斯公式与斯托克斯公式254

一、高斯公式254

二、斯托克斯公式260

习题9-7267

第八节 场论简介269

一、场的概念269

二、方向导数与梯度271

三、流量与散度276

四、环量与旋度280

习题9-8285

复习题287

第十章 无穷级数289

第一节 无穷级数的基本概念及性质289

一、无穷级数的基本概念289

二、级数的基本性质294

习题10-1299

第二节 正项级数的审敛法300

一、比较审敛法303

二、比值审敛法306

三、根值判别法309

习题10-2310

一、交错级数及其审敛法311

第三节 任意项级数的敛散性311

二、任意项级数的绝对收敛与条件收敛313

习题10-3318

第四节 幂级数319

一、函数项级数的一般概念319

二、幂级数及其收敛区间320

三、幂级数的性质与运算327

习题10-4330

一、泰勒级数332

第五节 函数的幂级数展开式332

二、函数的幂级数的展开式336

习题10-5344

第六节 幂级数的应用344

一、函数的近似公式344

二、近似计算345

三、尤拉公式348

习题10-6350

第七节 周期函数的傅立叶级数350

一、三角函数系的正交性350

二、周期函数的傅立叶级数354

习题10-7366

第八节 正弦级数和余弦级数368

一、奇、偶函数的傅立叶级数368

二、函数展开成正弦或余弦级数374

习题10-8380

复习题381

第十一章 微分方程383

第一节 微分方程的基本概念383

习题11-1388

第二节 可分离变量的微分方程389

习题11-2394

第三节 齐次方程395

一、齐次方程395

二、可化为齐次方程的方程400

习题11-3403

第四节 一阶线性微分方程404

一、一阶线性微分方程404

二、贝努利方程409

习题11-4411

一、全微分方程413

二、积分因子414

习题11-5417

第六节 可降阶的高阶微分方程417

第五节 全微分方程418

一、yn＝f(x)型的微分方程418

二、y ＝f(x，y )型的微分方程418

三、y ＝f(y，y )型的微分方程422

习题11-6425

第七节 二阶线性微分方程解的结构427

第八节 二阶常系数线性齐次微分方程的解法431

习题11-7431

习题11-8443

第九节 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法444

一、f(x)＝e~(λx)P_m(x)型444

二、f(x)＝e~(λx)[P_o(x)cosωx＋P_n(x)sinroωx]型448

习题11-9455

第十节 尤拉方程457

习题11-10459

第十一节 微分方程的幂级数解法举例459

习题11-11463

复习题464