《高等数学 下》

目 录1

第六章微分方程1

第一节微分方程的基本概念1

1.1应用问题举例1

1.2微分方程的解3

习题6-16

第二节一阶微分方程7

2.1可分离变量的微分方程7

2.2一阶线性微分方程12

习题6-217

第三节高阶线性微分方程19

3.1高阶线性微分方程的概念19

3.2朗斯基行列式23

3.3高阶线性微分方程的通解结构26

习题6-328

第四节常系数线性微分方程的解法29

4.1常系数齐次线性微分方程的解法29

4.2常系数非齐次线性微分方程的解法33

4.3应用举例42

4.4欧拉方程47

习题6-449

第五节可降阶的高阶微分方程51

习题6-555

第六节微分方程的幂级数解法56

习题6-660

附录61

第七节常系数线性微分方程组解法举例61

习题6-767

第八节常系数线性微分方程的算子解法68

8.1算子及其性质68

8.2运算子及其性质70

8.3微分方程算子解法举例73

习题6-878

杂题78

第七章向量与空间解析几何81

第一节向量及其基本运算81

1.1 向量的概念81

1.2向量的加法82

1.3数与向量的乘法83

1.4向量的线性组合与向量的分解86

1.5有序向量的定向88

习题7-190

2.1空间直角坐标系91

第二节空间直角坐标系 向量的坐标91

2.2向量的坐标93

2.3用坐标作向量运算95

习题7-298

第三节向量的数量积与向量积99

3.1向量的数量积99

3.2向量的向量积103

3.3混合积与三重向量积107

习题7-3110

4.1空间直线的方程112

第四节空间直线与平面112

4.2平面的方程114

4.3有关平面与直线的问题举例119

习题7-4124

第五节曲面与空间曲线127

5.1曲面与空间曲线的方程127

5.2柱面与锥面130

5.3空间曲线在坐标面上的投影135

5.4二次曲面136

习题7-5141

第六节 向量值函数及其导数与积分空间曲线的切线143

6.1向量值函数的概念143

6.2向量值函数的极限与连续性146

6.3向量值函数的导数与积分147

6.4空间曲线的切线151

习题7-6152

第七节曲线的弧长 曲率153

7.1 曲线的弧长 光滑曲线153

7.2曲率159

7.3向径与切线的夹角162

习题7-7163

第八节曲线运动165

8.1速度和加速度165

附录165

8.2单位向量的导数167

8.3速度向量与加速度向量的分解167

8.4切向加速度与法向加速度170

习题7-8172

第九节坐标变换173

9.1平移变换173

9.2旋转变换175

9.3正交变换180

习题7-9181

杂题183

1.1多元函数的概念187

第一节多元函数的极限与连续性187

第八章多元函数及其微分法187

1.2二元函数的图形188

1.3二元函数的极限与连续性192

习题8-1196

第二节偏导数196

2.1偏导数的概念开集196

2.2偏导数的几何意义200

2.3 高阶偏导数203

习题8-2205

3.1复合函数的全导数207

第三节 复合函数的微分法207

3.2曲面的切平面与法线209

3.3方向导数与梯度211

3.4复合函数的偏导数216

习题8-3221

第四节隐函数的微分法 曲面的参数方程224

4.1一个方程的情形224

4.2方程组的情形226

4.3曲面的参数方程光滑曲面229

习题8-4235

5.1全微分的概念237

第五节全微分237

5.2全微分形式的不变性241

习题8-5245

第六节 多元函数的极值与条件极值247

6.1多元函数的极值区域247

6.2条件极值251

习题8-6255

附录256

第七节二元函数的泰勒公式256

7.1二元函数的一阶泰勒公式256

7.2极值充分条件的证明260

7.3二元函数的n阶泰勒公式265

习题8-7267

杂题267

第九章重积分271

第一节二重积分及其计算271

1.1二重积分的概念与性质271

1.2平面区域的表示法274

1.3二重积分的计算276

习题9-1280

第二节二重积分的换元法282

2.1极坐标系的情形282

2.2曲线坐标系的情形288

习题9-2297

第三节二重积分的应用299

3.1物理应用299

3.2曲面的面积302

习题9-3306

第四节三重积分308

4.1三重积分的概念308

4.2三重积分的计算309

4.3利用柱面坐标计算三重积分312

4.4利用球面坐标计算三重积分315

4.5三重积分的一般换元公式318

习题9-4322

附录324

第五节广义二重积分含参量的积分324

5.1广义二重积分举例324

5.2含参量的积分326

5.3Γ函数与B函数331

习题9-5334

杂题335

第十章曲线积分与曲面积分338

第一节曲线积分338

1.1对弧长的曲线积分338

1.2对坐标的曲线积分343

1.3两类曲线积分之间的联系350

习题10-1352

第二节格林公式353

习题10-2359

第三节 曲线积分与路径无关的条件360

3.1曲线积分与路径无关的条件360

3.2全微分方程370

习题10-3372

第四节曲面积分374

4.1对面积的曲面积分374

4.2对坐标的曲面积分379

习题10-4386

第五节高斯公式通量与散度387

5.1高斯公式387

5.2通量与散度391

习题10-5393

第六节斯托克斯公式旋度与环量395

6.1斯托克斯公式395

6.2旋度与环量398

习题10-6404

杂题405

习题答案409