《高等数学 下》

第八章多元函数微分法及其应用1

第一节多元函数的基本概念1

一、区域1

二、多元函数概念3

三、多元函数的极限6

四、多元函数的连续性9

习题8-112

第二节偏导数13

一、偏导数的定义及其计算法13

二、高阶偏导数17

习题8-220

第三节全微分及其应用21

一、全微分的定义21

二、全微分在近似计算中的应用25

习题8-328

第四节多元复合函数的求导法则29

习题8-436

第五节隐函数的求导公式37

一、一个方程的情形37

二、方程组的情形40

习题8-543

第六节微分法在几何上的应用44

一、空间曲线的切线与法平面44

二、曲面的切平面与法线49

习题8-652

第七节方向导数与梯度53

一、方向导数53

二、梯度56

习题8-760

第八节多元函数的极值及其求法61

一、多元函数的极值及最大值、最小值61

二、条件极值 拉格朗日乘数法67

习题8-871

第九节二元函数的泰勒公式71

一、二元函数的泰勒公式71

二、极值充分条件的证明76

习题8-978

第十节最小二乘法79

习题8-1084

总习题八85

第九章重积分87

第一节二重积分的概念与性质87

一、二重积分的概念87

二、二重积分的性质91

习题9-193

第二节二重积分的计算法94

一、利用直角坐标计算二重积分94

习题9-2（1）103

二、利用极坐标计算二重积分104

习题9-2（2）110

三、二重积分的换元法112

习题9-2（3）118

第三节二重积分的应用119

一、曲面的面积120

二、平面薄片的重心123

三、平面薄片的转动惯量125

四、平面薄片对质点的引力126

习题9-3127

第四节三重积分的概念及其计算法128

习题9-4133

第五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分134

一、利用柱面坐标计算三重积分134

二、利用球面坐标计算三重积分136

习题9-5141

第六节含参变量的积分143

习题9-6149

总习题九150

第十章曲线积分与曲面积分152

第一节对弧长的曲线积分152

一、对弧长的曲线积分的概念与性质152

二、对弧长的曲线积分的计算法154

习题10-1158

第二节对坐标的曲线积分159

一、对坐标的曲线积分的概念与性质159

二、对坐标的曲线积分的计算法163

三、两类曲线积分之间的联系168

习题10-2170

第三节格林公式及其应用171

一、格林公式171

二、平面上曲线积分与路径无关的条件176

三、二元函数的全微分求积179

习题10-3184

第四节对面积的曲面积分185

一、对面积的曲面积分的概念与性质185

二、对面积的曲面积分的计算法186

习题10-4190

第五节对坐标的曲面积分192

一、对坐标的曲面积分的概念与性质192

二、对坐标的曲面积分的计算法197

三、两类曲面积分之间的联系200

习题10-5203

第六节高斯公式 通量与散度204

一、高斯公式204

二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件209

三、通量与散度210

习题10-6212

第七节斯托克斯公式 环流量与旋度213

一、斯托克斯公式213

二、空间曲线积分与路径无关的条件219

三、环流量与旋度221

四、向量微分算子223

习题10-7224

总习题十225

第十一章无穷级数228

第一节常数项级数的概念和性质228

一、常数项级数的概念228

二、收敛级数的基本性质231

三、柯西审敛原理235

习题11-1236

第二节常数项级数的审敛法237

一、正项级数及其审敛法237

二、交错级数及其审敛法245

三、绝对收敛与条件收敛247

习题11-2252

第三节幂级数254

一、函数项级数的概念254

二、幂级数及其收敛性255

三、幂级数的运算260

习题11-3263

第四节函数展开成幂级数264

一、泰勒级数264

二、函数展开成幂级数267

习题11-4275

第五节函数的幂级数展开式的应用275

一、近似计算275

二、欧拉公式280

习题11-5281

第六节函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质282

一、函数项级数的一致收敛性282

二、一致收敛级数的基本性质287

习题11-6292

第七节傅里叶级数293

一、三角级数 三角函数系的正交性293

二、函数展开成傅里叶级数296

习题11-7303

第八节正弦级数和余弦级数304

一、奇函数和偶函数的傅里叶级数304

二、函数展开成正弦级数或余弦级数308

习题11-8310

第九节周期为2l的周期函数的傅里叶级数310

习题11-9314

第十节傅里叶级数的复数形式314

习题11-10317

总习题十一318

第十二章微分方程320

第一节微分方程的基本概念320

习题12-1325

第二节可分离变量的微分方程326

习题12-2333

第三节齐次方程334

一、齐次方程334

二、可化为齐次的方程339

习题12-3341

第四节一阶线性微分方程342

一、线性方程342

二、伯努利方程345

习题12-4348

第五节全微分方程349

习题12-5352

第六节欧拉-柯西近似法352

习题12-6357

第七节可降阶的高阶微分方程357

一、y(n)=f（x）型的微分方程358

二、y″=f（x,y′）型的微分方程360

三、y″=f（y,y′）型的微分方程363

习题12-7366

第八节高阶线性微分方程366

一、二阶线性微分方程举例366

二、线性微分方程的解的结构369

三、常数变易法372

习题12-8375

第九节二阶常系数齐次线性微分方程376

习题12-9386

第十节二阶常系数非齐次线性微分方程387

一、f(x)=eλxPm（x）型388

二、f(x)=eλx［Pl(x)cos ωx+Pn(x)sin ωx］型390

习题12-10394

第十一节欧拉方程395

习题12-11397

第十二节微分方程的幂级数解法397

习题12-12402

第十三节常系数线性微分方程组解法举例402

习题12-13406

总习题十二407

习题答案与提示409