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目录1

第一篇空间解析几何学1

第一章基本概念及矢量代数初步1

§1．空间有向线段的射影1

下册1

§2．空间直角坐标系2

§3．有向线段的坐标6

§4．矢量概念8

1.矢量的矢积11

§5．矢量的标积11

附注11

2.矢量函数的求导16

第二章平面、直线及曲面的方程16

§6．平面方程的法式16

§7．三元一次方程17

§8．两平面的交角19

§9．空间直线方程21

§10．有向三角形的射影25

§11．空间坐标轴的旋转28

§12．曲面方程举例30

第二篇多元函数的微分学36

第三章偏导数与全微分36

§13．多元函数概念36

§14．二重极限39

§15．二元函数在一点上及在定义域内的连续性44

§16．偏导数48

§17．二元函数的可导性与可微性51

§18．方向导数54

§19．链导法的推广56

§20．全微分60

§21．二元函数的拉格朗日定理与泰勒定理64

附注64

1.关于重极限的存在问题，64

2.闭集与开集，64

3.极限归并原则，64

4.再论二元函数在一个自变量固定时的极限64

§22．方程在一点邻近的解开71

第四章从隐函数研究曲线及曲面71

§23．隐函数求导法75

§24．平面曲线、空间曲线与曲面的讨论77

§25．平面曲线的奇点82

§26．坐标变换与反变换83

§27．球面坐标与柱面坐标87

第三篇无穷级数90

4.极值的充分条件90

3.空间曲线的曲率与挠率，弗雷耐公式，90

2.曲面的参数方程90

1.平面的参数方程，90

附注90

§28．二元函数的极值问题90

第五章常数项与函数项级数106

§29．无穷级数的收敛与发散106

§30．正项级数的收敛问题109

§31．绝对收敛与条件收敛114

§32．函数项级数的一致收敛问题118

§33．函数项级数的逐项积分与求导问题125

§34．幂级数129

§35．函数展开为幂级数问题133

§36．无穷级数与旁义积分138

3.级数的相乘139

6.无穷乘积139

5.阿贝尔定理的证明139

4.阿贝尔审敛准则139

2.级数项易位问题139

1.柯西普遍审敛准则应用于级数139

附注139

§37．复变量幂级数139

第六章富里哀级数153

§38．三角级数与周期函数153

§39．函数的富里哀级数155

§40．富里哀级数的收敛问题157

§41．富里哀级数举例161

§42．正交函数系167

附注170

1.吉勃斯现象170

§43．富里哀级数的复数形式170

2.富里哀级数的逐项求积分。175

第四篇多元函数的积分学175

第七章重积分及其应用175

§44．含参数的定积分175

§45．二重积分概念180

§46．重积分的基本特性184

§47．矩形域上重积分的计算187

§48．任意域上重积分的计算190

§49．重积分转换于极坐标193

§50．三重积分略说195

§51．旁义重积分197

§52．用重积分计算容积199

§53．曲面的面积202

§54．重积分在物理学中的简单应用206

§55．线积分概念218

2.含参数的旁义积分。218

第八章线积分与面积分218

1.重极限与累极限的关系218

附注218

§56．线积分与路线无关的问题222

§57．全微分求积分问题223

§58．线积分的基本定理226

§59．矢量场与标量场230

§60．联系重积分与线积分的高斯定理234

§61．格林公式240

§62．面积分概念242

§63．联系重积分与面积分的奥斯特洛格拉茨基定理246

§64．联系面积分与线积分的斯托克斯定理248

附注重积分转换式248

1.斯托克斯定理的证明248

2.矢量场作为旋度场的充分条件248

第九章一阶微分方程255

§65．一阶微分方程的几何意义255

§66．变量可分离的一阶微分方程259

§67．用变量转换求变量的分离261

§68．一阶线性微分方程265

§69．全微分方程268

§70．单参数曲线族的微分方程272

§71．一阶微分方程组275

附注275

1.平面曲线族的包络275

2.克莱劳微分方程275

3.欧拉-柯西折线近似积分法275

第十章二阶线性微分方程281

§72．解的存在定理281

§73．齐次二阶线性微分方程的解282

§74．常系数齐次二阶线性微分方程286

§75．简谐振动与阻尼振动288

§76．非齐次二阶线性微分方程291

§77．强迫振动296

§78．贝塞尔微分方程略说297

附注297

1.二阶微分方程的边值问题297

2.高于二阶的常系数齐次线性微分方程的基解组。297

§80．波动方程的初值问题300

§79．求积分的几种简单方法301

第十一章数学物理学中的偏微分方程301

§81．圆域上拉普拉斯方程的边值问题310

§82．自由的弦振动312

§83．阻尼的弦振动318

§84．热传导方程319

第六篇复变函数的微积分学323

第十二章解析函数的特性323

§85．可导性的条件323

§86．解析函数的反函数329

§87．复变函数的定积分与不定积分330

§88．柯西-古萨基本定理334

§89．从复变对数到复变初等函数337

§90．解析函数与保形映射341

§91．柯西-古萨基本定理的一种应用351

§92．柯西积分公式354

§93．解析函数的泰勒展开356

§94．解析函数的罗朗展开359

§95．留数定理362

§96．解析函数与拉普拉斯方程365

参考书目368