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目录1

绪论1

第一篇　平面解析几何学6

第一章　基本公理6

§1．有向线段及其与数的联系6

§2．有理数的闭性与密性8

§3．一一对应11

§4．实数连续性公理13

§5．无理数与无尽小数15

§6．实数概念小结18

§7．实数的绝对值19

§8．有向角及其与数的联系21

§9．有向线段的射影24

附注（1）数学归纳法，（2）无穷多的一种特征，（3）无理数与无尽连分数25

§10．笛卡儿直角坐标系28

第二章　坐标与方程28

§11．坐标轴的平移29

§12．两点间的距离30

§13．定比分点31

§14．曲线与方程33

§15．方向余弦与方向数38

§16．矢径在有向直线上的射影42

§17．极坐标42

§18．直线方程的法式45

第三章　直线与一次方程45

§19．直线的斜率46

§20．二元一次方程47

§21．直线方程通式与法式的沟通49

§22．直线到点的垂直距离51

§23．直线方程的参数式52

§24．坐标变换、直线方程对坐标变换的不变性54

§25．直线的极坐标方程56

§26．两直线的交角58

§27．必要与充分条件61

§28．二元一次方程组62

§29．行列式的特性65

§30．三元一次方程组69

§31．两直线的交点72

§32．直线束73

§33．三条直线的交点75

附注（1）直线段的参数式，（2）直线方程的两点式由行列式表达，（3）方程个数少于未知数个数时的情况，（4）四元一次方程组问题，（5）三条直线线性相关的条件79

第四章　圆锥曲线略论80

§34．圆的一般方程80

§35．椭圆及双曲线的方程81

§36．椭圆及双曲线的准线85

§37．圆锥曲线的极坐标方程88

§38．圆及椭圆的参数方程89

§39．一般二次方程的简化举例90

§40．函数的定义95

第五章　函数概念95

第二篇　一元函数的微积分学95

§41．隐函数与显函数97

§42．函数作图98

§43．最简单的几种函数101

§44．复合函数103

§45．反函数105

第六章　极限107

§46．数列的极限107

§47．数列发散的情况114

§48．数列极限存在的情况116

§49．数列极限存在的准则120

§50．数列极限的有理运算124

§51．数列极限存在与无穷小126

§52．数列极限的简单应用举例127

§53．函数f（x）在x→∞时的极限129

§54．函数f（x）在x→ξ时的极限132

§55．关于函数极限的几条定理135

§56．函数极限不存在的情况137

§57．无穷小的比较141

附注（1）数列极限定义的补充说明（2）用聚点说明数列极限，（3）聚点存在定理，（4）审敛准则的证明，（5）柯西的普遍审敛准则，（6）柯西审敛准则在函数极限问题上的应用，（7）函数的极限归并到数列的极限142

第七章　连续函数148

§58．函数在一点上及在区间内的连续性148

§59．从连续函数产生连续函数151

§60．连续函数的特性153

§61．连续函数的反函数155

§62．对数函数及指数函数159

附注（1）奇次代数方程有一实根的证明，（2）连续函数在闭区间内的一致连续，（3）关于指数函数的补充说明，（4）对数发明史上一些事实161

第八章　导数与微分166

§63．曲线在一点上的斜率166

§64．自然现象的瞬时变化率167

§65．函数在一点上及在区间内的可导性169

§66．函数的可导性与连续性173

§67．可导函数的和、积、商176

§68．可导函数的复合函数179

§69．可导函数的反函数182

§70．对数函数及指数函数的可导性188

§71．双曲函数190

§72．初等函数的求导问题193

§73．罗尔定理198

§74．拉格朗日定理200

§75．微分203

§76．高阶导数与高阶微分207

§77．二阶导数与曲线凹向208

附注（1）导数存在与连续，（2）作图求导法，（3）无穷大的比较，（4）一个连续可导而各阶导数在一点上都等于零的函数，（5）上凹函数210

第九章　导数概念在函数研究中的应用215

§78．极值的充分条件215

§79．拉格朗日定理的推广218

§80．极值问题举例222

§81．不定式问题225

§82．函数值的近似计算228

§83．方程的近似解法231

§84．函数作图问题234

§85．从曲线的参数方程讨论曲线的特性238

§91．基本积分表239

§86．从曲线的极坐标方程讨论曲线的特性243

附注（1）不定式？（2）e为无理数的证明，（3）不能展开的函数，（4）函数展开的柯西余项式，（5）笛卡儿叶形线，（6）外摆线与内摆线247

第十章　定积分与不定积分254

§87．面积问题254

§88．定积分概念256

§89．中值定理260

§90．牛顿-莱布尼兹公式265

§92．积分的物理意义273

附注（1）作图求积分法，（2）再论对数及指数函数274

第十一章　积分法279

§93．积分法要旨279

§94．换元法280

§95．分部积分法285

§96．有理函数的积分289

§97．三角及双曲函数的积分294

§98．几种可以有理化的函数类型296

§99．不能用初等函数表达的积分300

§100．定积分的近似计算301

§101．旁义积分304

附注（1）泰勒定理的另一证明，（2）表达π的华里斯乘积，（3）n！随n→∞趋大情况的讨论310

第十二章　微积分概念在几何学与物理学上的简单应用313

§102．闭合曲线所围的面积313

§103．弧长319

§104．曲率324

§105．质量重心329

§106．转动惯量331

§107．物理学中的一阶微分方程举例334

§108．自由降落与简谐振动336

附注（1）渐屈线的一种特性，（2）两曲线的n阶接触，（3）牛顿引力的势能340

参考书目344