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第一篇　函数、极限、连续1

第一章 函数1

1.1　常量和变量、区间、绝对值和邻域1

一、常量和变量1

二、区间、绝对值和邻域2

习题1-18

1.2　函数的概念及其表示法8

一、函数的概念8

二、函数的表示法13

三、分段函数15

习题1-218

1.3　函数的某些特性20

一、函数的有界性20

二、函数的单调性20

三、函数的奇偶性22

四、函数的周期性24

习题1-325

1.4　反函数与复合函数26

一、反函数26

二、复合函数29

习题1-433

1.5　基本初等函数与初等函数34

一、基本初等函数34

二、初等函数40

习题1-540

1.6　建立函数关系式举例41

习题1-644

学习指导（一）46

复习练习题（一）56

一、数列的概念及性质61

2.1　数列的极限61

第二章　极限61

二、数列的极限64

三、收敛数列的有界性69

习题2-170

2.2　数列极限的存在准则及四则运算法则71

一、数列极限的存在准则71

二、数列极限的四则运算法则74

习题2-279

2.3　函数的极限80

一、当自变量x→∞时函数f（x）的极限80

二、当自变量x→x0时函数f（x）的极限83

三、函数的左、右极限87

习题2-389

一、函数极限的四则运算法则90

2.4 函数极限的运算法则与函数极限的性质90

二、复合函数的极限法则93

三、函数极限的性质95

习题2-496

2.5 函数极限的存在准则及两个重要极限97

一、函数极限存在的夹逼准则97

二、两个重要极限98

习题2-5105

2.6　无穷大与无穷小106

一、无穷大106

二、无穷小108

三、无穷大与无穷小之间的关系109

四、具有极限的函数与无穷小的关系110

五、无穷小的性质111

六、无穷小的比较112

习题2-6116

学习指导（二）117

复习练习题（二）130

第三章 函数的连续性134

3.1 函数的连续性与间断点134

一、函数的连续性概念134

二、函数的间断点及其分类139

习题3-1143

3.2　连续函数的运算与初等函数的连续性144

一、连续函数的和、差、积、商的连续性144

二、反函数的连续性145

三、复合函数的连续性146

四、初等函数的连续性147

习题3-2149

3.3　闭区间上连续函数的性质150

学习指导（三）153

习题3-3153

复习练习题（三）160

测验作业题（一）163

第二篇　一元函数微分学166

第四章　函数的导数166

4.1　导数的概念166

一、变化率问题举例166

二、导数的定义169

三、导数的几何意义175

四、左导数与右导数177

五、函数的可导性与连续性之间的关系179

习题4-1180

4.2 函数的求导法则及基本导数公式181

一、函数的和、差、积、商的求导法则182

二、反函数的求导法则186

三、复合函数的求导法则189

习题4-2194

4.3　初等函数的导数及分段函数求导举例195

一、初等函数的导数195

二、分段函数求导举例199

习题4-3200

4.4　高阶导数202

习题4-4205

4.5 由方程确定的隐函数及由参数方程所确定的函数的导数206

一、由方程确定的隐函数的求导方法206

二、对数求导法210

三、由参数方程所确定的函数及其求导方法211

习题4-5215

学习指导（四）216

复习练习题（四）225

一、引例230

5.1 函数的微分概念230

第五章　函数的微分230

二、微分的定义231

三、函数的微分与导数之间的关系231

四、微分的几何意义233

习题5-1234

5.2　基本初等函数的微分公式及微分运算法则235

一、基本初等函数的微分公式235

二、函数的和、差、积、商的微分法则236

三、复合函数的微分法则——微分形式不变性238

习题5-2239

5.3　微分在近似计算中的应用240

一、计算函数的增量及函数值的近似值240

二、误差估计243

习题5-3244

学习指导（五）245

复习练习题（五）250

测验作业题（二）251

第六章 中值定理与洛必达法则253

6.1 中值定理253

一、罗尔（Rolle）中值定理（简称罗尔定理）253

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理256

三、柯西（Cauchy）中值定理261

四、泰勒（Taylor）中值定理263

习题6-1268

6.2 洛必达（L'Hospital）法则269

一、？型未定式269

二、？型未定式271

三、其它类型的未定式272

四、关于使用洛必达法则的说明274

学习指导（六）276

习题6-2276

复习练习题（六）281

第七章　导数的应用283

7.1 函数的单调增减性的判别法283

一、函数的单调增减性与导数符号的关系283

二、函数的单调增减性的判别法284

三、利用函数的单调增减性证明不等式举例287

习题7-1288

7.2　函数的极值及其求法289

一、函数极值的概念289

二、函数极值的求法290

习题7-2295

7.3 函数的最大值和最小值及其应用296

一、在闭区间上连续函数的最大值与最小值的求法296

二、求实际问题中函数的最大值与最小值举例297

习题7-3301

7.4　曲线的凹凸性及拐点302

一、曲线的凹凸性303

二、曲线的拐点及其求法305

习题7-4306

7.5　函数图形的描绘307

一、曲线的渐近线307

二、函数图形的描绘309

习题7-5311

7.6　弧长的微分与曲率312

一、弧长的微分312

二、曲率的概念及其计算公式314

三、曲率半径与曲率圆318

习题7-6320

学习指导（七）320

复习练习题（七）330

测验作业题（三）332

第三篇　一元函数积分学333

第八章　不定积分333

8.1　原函数与不定积分的概念333

一、原函数的概念333

二、不定积分的定义335

三、不定积分的几何意义336

四、不定积分的性质337

五、基本积分公式339

六、直接积分法341

习题8-1343

8.2　换元积分法345

一、第一类换元法（凑微分法）345

习题8-2（1）352

二、第二类换元法353

习题8-2（2）359

8.3　分部积分法360

习题8-3365

8.4　有理函数及三角函数有理式的积分366

一、有理函数的积分366

二、三角函数有理式的积分373

习题8-4375

学习指导（八）376

复习练习题（八）385

测验作业题（四）388

第九章　定积分389

9.1　定积分的概念389

一、引例389

二、定积分的定义393

三、定积分的几何意义396

习题9-1397

9.2　定积分的性质398

习题9-2402

9.3 牛顿（Newton）—莱布尼茨（Leibniz）公式403

一、积分上限的函数及其导数403

二、牛顿—莱布尼茨公式406

习题9-3408

9.4　定积分的换元积分法与分部积分法409

一、定积分的换元积分法410

习题9-4（1）414

二、定积分的分部积分法415

习题9-4（2）418

9.5　定积分的近似计算419

一、矩形法419

二、梯形法420

三、抛物线法421

习题9-5425

一、无穷区间上的广义积分426

9.6　广义积分426

二、无界函数的广义积分429

习题9-6431

学习指导（九）432

复习练习题（九）443

第十章　定积分的应用447

10.1　定积分的元素法447

10.2　平面图形的面积449

一、直角坐标系中的面积公式449

二、极坐标系中的面积公式454

习题10-2457

10.3　某些特殊立体的体积457

一、旋转体的体积457

二、平行截面面积为已知的立体的体积461

习题10-3463

一、直角坐标方程的情形464

10.4　平面曲线的弧长464

二、参数方程的情形465

三、极坐标方程的情形465

习题10-4466

10.5　定积分在物理上的应用467

一、变力所作的功467

二、水压力470

习题10-5471

学习指导（十）472

复习练习题（十）481

测验作业题（五）483

附录一　积分表485

附录二　初等数学中的常用公式495

附录三 某些常用的曲线方程及其图形499