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1.导数、微分的应用1

1.1 初等函数与分段函数1

1.1.1 初等函数1

1.1.2 分段函数2

1.2 无穷小量3

1.2.1 无穷小量3

1.2.2 无穷小量的比较4

1.2.3 无穷小量与极限的关系4

1.3 变化率问题5

1.4 函数图形的描绘7

1.4.1 曲线的凹凸和拐点7

1.4.2 函数图形的描绘9

1.5 函数展为幂级数11

1.5.1 用多项式近似表示函数11

1.5.2 常用的几个函数的幂级数展开式13

1.6 由参数方程所确定的函数的导数15

1.7 近似计算与误差估计16

1.7.1 近似计算16

1.7.2 误差估计17

习题一18

2.不定积分21

2.1 不定积分的概念与简单性质21

2.1.1 原函数21

2.1.2 不定积分的概念22

2.1.3 不定积分的简单性质23

2.2 不定积分的基本公式和运算法则23

2.2.1 基本公式23

2.2.3 直接积分法24

2.2.2 不定积分的运算法则24

2.3 换元积分法25

2.3.1 第一类换元法(凑微分法)26

2.3.2 第二类换元法28

2.2.3 说明30

2.4 分部积分法32

2.5 积分表的使用33

习题二34

3.1 定积分的概念37

3.1.1 引出定积分概念的两个实际问题37

3 定积分及其应用37

3.1.2 定积分概念38

3.2 定积分的性质40

3.3 定积分的计算40

3.3.1 微积分学的基本公式40

3.3.2 定积分的换元法和分部积分法42

3.4 定积分的近似计算44

3.4.1 梯形法44

3.4.2 幂级数法45

3.5.1 平面图形的面积46

3.5 定积分的应用46

3.5.2 旋转体的体积47

3.5.3 变力所作的功49

3.5.4 液体的静压力51

3.6 广义积分和Γ函数51

3.6.1 广义积分51

3.6.2 Γ函数53

习题三53

4.1.1 空间点的直角坐标56

4.1 空间直角坐标系56

4 空间解析几何56

4.1.2 空间两点的距离57

4.2 空间曲面与曲线58

4.2.1 空间曲面及其方程58

4.2.2 空间曲线及其方程60

4.2.3 几种特殊的二次曲面61

4.3 向量代数64

4.3.1 向量的概念64

4.3.2 向量的加减法65

4.3.3 向量与数量的乘法66

4.3.4 向量的坐标表示67

4.3.5 向量的模及方向余弦68

4.3.6 向量的数量积70

4.3.7 向量的向量积72

4.4 空间平面与直线74

4.4.1 空间平面及其方程74

4.4.2 空间直线及其方程78

习题四82

5.多元函数微分学85

5.1 多元函数的概念85

5.2.1 二元函数的极限87

5.2 二元函数的极限和连续87

5.2.2 二元函数的连续性88

5.3 多元函数的偏导数89

5.3.1 偏导数的概念及计算89

5.3.2 二元函数偏导数的几何意义92

5.3.3 高阶偏导数92

5.4 多元函数的全微分93

5.5 复合函数的微分法95

5.6.1 近似计算98

5.6 全微分在近似计算和误差估计中的应用98

5.6.2 误差估计99

5.7 二元函数的极值100

习题五102

6.多元函数积分学105

6.1 二重积分的概念与性质105

6.1.1 二重积分的概念105

6.1.2 二重积分的性质107

6.2 二重积分的计算108

6.2.1 在直角坐标系中计算二重积分108

6.2.2 在极坐标系中计算二重积分113

6.3 二重积分的简单应用116

6.4 对坐标的曲线积分119

6.4.1 对坐标曲线积分的概念及简单性质119

6.4.2 对坐标曲线积分的计算121

6.5 格林(Green)公式及其应用123

6.6 曲线积分与路无关的条件125

习题六128

7.微分方程131

7.1 基本概念131

7.1.1 微分方程的阶、线性微分方程132

7.1.2 微分方程的解及其几何意义133

7.2 可分离变量的微分方程134

7.3 一阶线性微分方程136

7.4 可降阶的二阶微分方程141

7.4.1 不显含未知函数y的二阶微分方程141

7.4.2 不显含自变量x的二阶微分方程142

7.5 二阶常系数线性齐次微分方程144

7.5.1 二阶线性微分方程解的性质144

7.5.2 二阶常系数线性齐次微分方程的解法145

7.6 拉普拉斯变换147

7.6.1 拉普拉斯变换的概念148

7.6.2 拉普拉斯变换的简单性质149

7.7 二阶常系数线性微分方程150

7.8 微分方程的简单应用154

习题七158

8.矩阵161

8.1 矩阵的概念161

8.2 矩阵的运算164

8.2.1 矩阵的加法164

8.2.2 矩阵的数乘164

8.2.3 矩阵与矩阵的乘法165

8.3 矩阵的逆170

8.4 矩阵的初等变换173

8.5 矩阵的秩178

8.6 线性方程组181

8.6.1 线性方程组的形式181

8.6.2 含n个方程的n元线性方程组的解182

8.6.3 线性方程组的解183

8.7 应用问题188

8.7.1 线性方程组附加约束188

8.7.2 矩阵对策189

8.7.3 线性规划(LP)192

习题八195

附录Ⅰ 导数与微分201

一、函数与极限201

1.函数的概念201

2.函数的极限202

3.函数的连续性205

二、函数的导数206

1.导数的概念206

2.幂函数、正弦函数、对数函数的导数208

3.导数的运算法则210

4.复合函数的求导法则211

5.常见的几个导数公式212

三、函数的微分214

1.微分的概念214

2.微分中值定理216

3.函数的增减性和极值217

习题219

Ⅱ 简明不定积分表222

习题答案227