《线性代数》

预备知识1

一、数域1

二、连加号与连乘号3

1.n个实数相加3

2.m×n个实数相加3

3.n个实数相乘4

4.n个数a1，a2，…，an所有可能的差(ai-aj)的连乘积4

第一章 行列式6

一、二元、三元线性方程组与二阶三阶行列式6

二、n阶行列式的定义9

1.排列9

2.n阶行列式的定义11

三、行列式的性质14

四、行列式按某一行(列)展开21

五、克莱姆法则29

第一章小结34

习题35

第二章 矩阵38

一、矩阵的概念38

二、矩阵的运算40

1.矩阵的加法40

2.矩阵与数的乘法41

3.矩阵的乘法41

4.方阵47

5.矩阵的转置48

1.对角矩阵49

三、几种特殊的矩阵49

2.数量矩阵50

3.单位矩阵50

4.三角形矩阵51

5.对称矩阵51

6.正交矩阵52

四、逆矩阵52

1.矩阵的逆矩阵的存在条件52

2.逆矩阵的性质59

五、分块矩阵60

1.矩阵的分块60

2.分块矩阵的运算61

3.分块矩阵的求逆63

六、矩阵的初等变换66

1.矩阵的初等变换的定义66

2.初等矩阵的性质69

第二章小结73

习题二74

第三章 n维向量79

一、n维向量空间79

二、向量间的线性关系81

1.线性组合81

2.线性相关与线性无关84

3.二维向量线性关系的几何意义85

4.向量间的线性关系的性质86

1.向量组的秩91

三、向量组与矩阵的秩91

2.矩阵的秩92

3.举例96

4.正交化方法99

第三章小结102

习题三103

第四章 线性方程组107

一、线性方程组有解的判别定理107

1.线性方程组107

2.齐次线性方程组108

二、线性方程组的消元法109

1.齐次线性方程组解的结构113

三、线性方程组解的结构113

2.非齐次线性方程组解的结构117

第四章小结121

习题四123

第五章 矩阵的特征值126

一、矩阵的特征值与特征向量126

1.特征值与特征向量的概念126

2.特征值与特征向量的性质130

3.相似矩阵132

4.实对称矩阵的对角化135

5.约当(Jordan)形矩阵的简单介绍139

二、矩阵级数的收敛性142

1.向量序列的极限142

2.矩阵序列的极限143

3.向量无穷级数的收敛性144

4.矩阵无穷级数的收敛性145

5.关于极限的几个定理145

三、线性方程组的迭代解法146

1.引例说明迭代法146

2.迭代公式148

第五章小结150

习题五151

第六章 二次齐式153

一、二次齐式及其矩阵表示153

1.二次齐式153

2.线性变换153

3.矩阵的合同关系157

二、用正交变换化实二次齐式为平方和158

三、标准形161

1.二次齐式化为平方和的方法161

2.用初等变换化二次齐式为标准形166

3.举例172

四、规范形174

1.二次齐式的秩174

2.规范形的唯一性175

五、正定二次齐式176

1.正定二次齐式的定义及判别条件176

2.负定、半正定、半负定的概念184

第六章小结185

习题六186

习题答案187