《应用近世代数》求取 ⇩

第1章引言和预备知识1

1.1几类实际问题1

1.项链问题1

2.分子结构的计数问题2

3.正多面体着色问题2

4.图的构造与计数问题4

5.开关线路的构造与计数问题5

6.数字通信的可靠性问题6

7.几何作图问题7

8.代数方程根式求解问题8

习题1.18

1.2集合与映射9

1.集合的记号9

2.子集与幂集10

3.子集的运算10

4.包含与排斥原理11

5.映射的概念13

6.映射的分类15

7.映射的复合17

8.映射的逆18

习题1.220

1.3二元关系20

1.集合的笛卡儿积21

2.二元关系22

3.等价关系和等价类23

4.偏序和全序25

习题1.328

1.4整数与同余方程29

1.整数的运算29

2.最大公因子和最小公倍数29

3.互素33

4.同余方程及孙子定理34

习题1.439

第2章群论40

2.1基本概念40

1.群和半群40

2.关于单位元的性质42

3.关于逆元的性质43

4.群的几个等价性质43

习题2.149

2.2子群50

1.子群50

2.元素的阶53

习题2.254

2.3循环群和生成群，群的同构55

1.循环群和生成群55

2.群的同构58

3.循环群的性质59

习题2.361

2.4变换群和置换群，凯莱定理62

1.置换群63

2.凯莱（Cayley）定理69

习题2.471

2.5子群的陪集和拉格朗日定理72

1.子群的陪集72

2.子群的指数和拉格朗日定理74

习题2.576

2.6正规子群和商群77

1.正规子群的概念77

2.正规子群的性质78

3.商群81

4.单群83

习题2.683

2.7共轭元和共轭子群84

1.中心和中心化子84

2.共轭元和共轭类85

3.共轭子群与正规化子87

4.置换群的共轭类88

习题2.792

2.8群的同态93

1.群的同态93

2.同态基本定理94

3.有关同态的定理97

4.自同态与自同构100

习题2.8102

2.9群对集合的作用，伯恩赛德引理103

1.群对集合的作用103

2.轨道与稳定子群105

3.伯恩赛德（Burnside）引理108

习题2.9109

2.10应用举例110

1.项链问题110

2.分子结构的计数问题115

3.正多面体着色问题116

4.开关线路的计数问题117

5.图的计数问题119

习题2.10121

2.11群的直积和有限可换群122

1.群的直积122

2.有限可换群的结构124

习题2.11128

2.12有限群的结构，西罗定理128

1.p-子群与Sylow p-子群128

2.西罗（Sylow）定理129

习题2.12133

第3章环论134

3.1环的定义和基本性质134

1.环的定义134

2.环内一些特殊元素和性质137

3.环的分类139

习题3.1141

3.2子环、理想和商环142

1.子环142

2.生成子环和生成理想146

3.商环147

习题3.2150

3.3环的同构与同态151

1.环的同构与同态151

2.有关同态的一些定理152

3.分式域154

习题3.3156

3.4整环中的因子分解156

1.一些基本概念157

2.既约元和素元157

3.最大公因子159

习题3.4160

3.5唯一分解整环161

1.唯一分解整环及其性质161

2.主理想整环164

3.欧氏环166

习题3.5167

3.6多项式分解问题168

1.本原多项式及其性质168

2.D[x]的分解性质170

3.多项式的可约性判断172

习题3.6175

3.7应用举例176

1.编码问题176

2.多项式编码方法及其实现177

习题3.7182

第4章域论183

4.1域和域的扩张，几何作图问题183

1.素域和域的特征183

2.扩张次数，代数元和超越元185

3.代数扩张与有限扩张188

4.几何作图问题189

习题4.1194

4.2分裂域，代数基本定理195

1.分裂域195

2.代数基本定理199

习题4.2201

4.3有限域，有限几何201

1.有限域的构造及唯一性201

2.有限域的元素的性质203

3.Zp[x]中多项式的根205

4.有限域的子域206

5.有限几何208

习题4.3208

4.4单位根，分圆问题210

1.单位根210

2.分圆问题210

习题4.4213

附录Ⅰ其它代数系简介214

1.格与布尔代数214

2.模的概念及例217

3.代数218

习题218

附录Ⅱ习题提示与答案219

参考文献238

符号索引239

名词索引244