《计算机数值方法》

第一章 引论1

§1 计算机数值方法的研究对象与特点1

§2 数值问题与数值方法3

2-1 数值方法4

2-2 数值算法5

2-3 算法设计及其表达法6

§3 误差11

3-1 误差的基本概念11

3-2 浮点基本运算的误差18

3-3 数值方法的稳定性与算法设计原则22

习题一27

第二章 解线性方程组的直接法29

§1 直接法与三角形方程组求解29

1-1 直接法概述29

1-2 三角形线性方程组的解法30

§2 Gauss消去法31

2-1 消元与回代计算31

2-2Gauss消去法的运算量33

§3 Gauss列主元素消去法34

3-1 主元素的作用34

3-2 消元过程与系数矩阵的分解36

3-3 算法设计39

§4 直接三角分解法41

4-1 基本的三角分解法42

4-2 部分选主元的Doolittle分解46

4-3 算法设计52

§5 平方根法53

5-1 对称正定矩阵的三角分解53

5-2 平方根法的数值稳定性56

§6 追赶法57

7-1 求逆矩阵的Gauss-Jordan列主元素法62

§7 逆矩阵的计算62

7-2 算法设计66

练习二68

第三章 插值法与最小二乘法73

§1 插值法73

1-1 插值问题73

1-2 代数插值多项式的存在唯一性74

1-3 插值基函数及Lagrange插值74

§2 插值多项式中的误差77

2-1 插值余项77

2-2 高次插值多项式的问题78

§3 分段插值法79

3-1 分段线性Lagrange插值80

3-2 算法设计81

3-3 分段二次Lagrange插值81

§4 Newton插值83

4-1 均差84

4-2 Newton插值公式及其余项85

4-3 差分88

4-4 等距节点的Newton插值公式89

4-5 算法设计93

§5 Hermite插值96

5-1 两点三次Hermite插值96

5-2 插值多项式H3(x)的余项98

5-3 分段两点三次Hermite插值99

§6 三次样条插值102

6-1 三次样条函数102

6-2 三次样条插值多项式103

6-3 算法设计109

6-4 三次样条插值函数的收敛性113

§7 数据拟合的最小二乘法113

7-1 最小二乘法的基本概念113

7-2 法方程组114

7-3 利用正交多项式作最小二乘拟合119

7-4 算法设计125

习题三131

第四章 数值积分与微分136

§1 Newton-Cotes公式136

1-1 插值型求积公式及Cotes系数136

1-2 低阶Newton-Cotes公式的余项139

1-3 Newton-Cotes公式的稳定性141

§2 复合求积法142

2-1 复合求积公式142

2-2 复合求积公式的余项及收敛的阶143

2-3 步长的自动选择144

2-4 算法设计146

§3 Romberg算法147

3-1 复合梯形公式的递推化147

3-2 外推加速公式149

3-3 算法设计152

§4 Gauss求积法154

4-1 Gauss点155

4-2 基于Hermite插值的Gauss型求积公式155

4-3 Gauss型求积公式的数值稳定性163

§5 数值微分163

5-1 插值型求导公式163

5-2 样条求导公式168

习题四170

第五章 常微分方程数值解法174

§1 引言174

1-1 基于数值微分的求解公式175

1-2 截断误差179

1-3 基于数值积分的求解公式180

§2 Runge-Kutta法184

2-1 Runge-Kutta法184

2-2 四阶Runge-Kutta算法190

3-1 开型求解公式192

§3 线性多步法192

3-2 闭型求解公式195

3-3 Adams预测一校正系统的算法197

§4 常微分方程数值解法的进一步讨论199

4-1 单步法的收敛性与稳定性199

4-2 常微分方程组与高阶常微分方程的数值解法201

4-3 边值问题的数值解法204

习题五208

第六章 逐次逼近法212

§1 基本概念212

1-1 向量与矩阵的范数212

1-2 误差分析介绍217

§2 线性方程组的迭代法220

2-1 简单迭代法222

2-2 迭代法的收敛性228

§3 非线性方程的迭代法233

3-1 简单迭代法234

3-2 Newton迭代法及其变形238

3-3 Newton迭代算法243

3-4 多根区间上的逐次逼近法244

§4 计算矩阵特征问题的幂法247

4-1 求代数方程根的方法247

4-2 幂法248

4-3 反幂法253

4-4 反幂算法255

§5 迭代法的加速256

5-1 基本迭代法的加速（SOR法及其算法）257

5-2 Aitken加速260

习题六264

习题答案270

中英文人名对照表281

参考书目282