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第一章预篇1

1.1线性空间与内积空间1

1.1.1 线性空间1

1.1.2 内积空间2

1.1.3 正交元素列5

1.2正交多项式7

1.2.1 正交多项式的性质7

1.2.2 Legendre多项式10

1.2.3 Chebyshev多项式13

1.3范数16

1.3.1 范数概念16

1.3.2 矩阵的范数18

1.4距离空间及压缩映射原理21

1.4.1 距离空间概念21

1.4.2 距离空间的完备性23

1.4.3 压缩映射原理24

1.5误差的基本知识28

1.5.1 绝对误差、相对误差及有效数字28

1.5.2 数值运算的误差估计及算法稳定性31

1.5.3 数值运算中应注意的几个问题32

习题一33

第二章线性方程组的直接解法35

2.1Gauss消去法36

2.1.1 直接法的基本思想36

2.1.2 Gauss消去法37

2.1.3 Gauss主元素消去法40

2.1.4 标度化列主元素消去法43

2.2直接三角分解法44

2.2.1 Gauss消元过程与矩阵的三角分解44

2.2.2 不选主元的直接三角分解法49

2.2.3 选主元的直接三角分解法52

2.3追赶法与平方根法55

2.3.1 追赶法56

2.3.2 平方根法59

2.3.3 改进的平方根法61

2.4高阶带状方程组的解法64

2.4.1 带状矩阵64

2.4.2 带状矩阵的存贮65

2.4.3 对称正定带状方程组求解67

2.5 矩阵求逆69

2.6方程组的性态、病态方程组的求解75

2.6.1 关于方程组解的精度75

2.6.2 矩阵的条件数75

2.6.3 方程组的性态76

2.6.4 病态方程组的求解80

小 结81

习题二82

第三章解线性方程组的迭代法86

3.1Jacobi迭代法及Gauss—Seidel迭代法86

3.1.1 Jacobi迭代法86

3.1.2 Gauss—Seidel迭代法88

3.2迭代法的收敛性89

3.2.1 迭代法收敛定理89

3.2.2 对角占优阵91

3.3SOR法94

3.3.1 SOR法94

3.3.2 SOR法的收敛性95

3.4最速下降法及共轭斜量法97

3.4.1 线性方程组的等价问题97

3.4.2 最速下降法98

3.4.3 共轭斜量法99

3.5块迭代法102

3.5.1 方程的分组102

3.5.2 块迭代法103

小 结104

习题三104

第四章非线性方程及非线性方程组的数值解法106

4.1区间搜索法、二分法及迭代法106

4.1.1 区间搜索法及二分法106

4.1.2 迭代法108

4.1.3 收敛阶110

4.1.4 Aitken加速法111

4.2Newton法、弦截法及抛物线法114

4.2.1 Newton法114

4.2.2 Newton下山法116

4.2.3 弦截法及抛物线法117

4.3解非线性方程组的Newton法119

4.3.1 Newton法120

4.3.2 Newton法的变形123

小 结125

习题四125

第五章矩阵的特征值与特征向量的计算128

5.1幂法及反幂法128

5.1.1 幂法128

5.1.2 幂法的加速132

5.1.3 反幂法134

5.2Jacobi法135

5.2.1 实对称阵的平面旋转变换136

5.2.2 古典Jacobi法及Jacobi过关法137

5.3QR算法141

5.3.1 基本QR算法原理141

5.3.2 Householder变换142

5.3.3 化一般矩阵为上Hessenberg阵143

5.3.4 上Hessenberg阵的QR分解146

5.3.5 带原点位移的QR算法148

小 结151

习题五152

第六章插值法154

6.1Lagrange插值155

6.1.1 代数插值多项式的存在唯一性155

6.1.2 Lagrange插值公式156

6.1.3 插值余项158

6.2Newton插值160

6.2.1 均差及其性质160

6.2.2 Newton插值多项式及其余项162

6.2.3 反插值165

6.3差分及等距节点插值公式166

6.3.1 差分及其性质167

6.3.2 Newton向前、向后插值公式168

6.4Hermite插值172

6.4.1 Hermite插值多项式及其余项172

6.4.2 两点三次Hermite插值175

6.5分段插值177

6.5.1 高次插值多项式的问题178

6.5.2 分段低次插值178

6.5.3 分段两点三次Hermite插值181

6.6三次样条插值183

6.6.1 三次样条插值函数的概念184

6.6.2 三次样条插值多项式185

6.7二元插值196

6.7.1 矩形网格上的插值方法197

6.6.2 分片Lagrange插值法200

小结201

习题六202

第七章函数的平方逼近205

7.1最佳平方逼近205

7.1.1 最佳平方逼近函数与法方程组205

7.1.2 在正交基下的法方程组209

7.2数据拟合的最小二乘法211

7.2.1 基本概念211

7.2.2 用代数多项式作拟合函数213

7.2.3 利用正交函数族做曲线拟合217

小 结220

习题七221

第八章数值积分与数值微分222

8.1数值积分222

8.1.1 Newton—Cotes公式223

8.1.2 求积公式的代数精度225

8.1.3 低阶 Newton—Cotes公式的余项225

8.1.3 低阶Newton—Cotes公式的余项225

8.1.4 Newton—Cotes公式的稳定性与收敛性227

8.2复化求积公式228

8.2.1 复化求积公式228

8.2.2 复化求积公式的余项230

8.2.3 步长的自动选择231

8.3Romberg算法233

8.3.1 梯形公式递推化233

8.3.2 Romberg算法235

8.3.3 Richardson外推法236

8.4Gauss型求积公式238

8.4.1 Gauss点238

8.4.2 Gauss—Legendre公式240

8.4.3 Gauss—Legendre公式的使用241

8.4.4 Gauss型求积公式的余项及稳定性242

8.4.5 带权Gauss型公式244

8.5数值微分245

8.5.1 插值型导数245

8.5.2 样条导数247

小 结248

习题八248

第九章常微分方程的数值解法250

9.1Euler法250

9.1.1 前进及后退Euler公式251

9.1.2 梯形公式与改进的Eur公式253

9.1.3 局部截断误差与方法的精度254

9.2Runge—Kutta法254

9.2.1 Taylor级数法255

9.2.2 Runge—Kutta法的基本思想及一般形式256

9.2.3 二阶Runge—Kutta公式推导256

9.2.4 四阶Runge—Kutta公式259

9.2.5 变步长的Runge—Kutta法260

9.3线性多步法261

9.3.1 线性多步法公式的推导262

9.3.2 常用的线性多步法公式264

9.3.3 线性多步法公式的使用266

9.3.4 Hamming方法267

9.4常微分方程数值解法的收敛性及稳定性268

9.4.1 数值解法的收敛性268

9.4.2 数值解法的稳定性270

9.5一阶微分方程组及高阶微分方程的数值解法272

9.5.1 一阶微分方程组的数值解法272

9.5.2 高阶微分方程的数值解法275

9.6 常微分方程边值问题的有限差分解法277

小 结280

习题九281

第十章偏微分方程的有限差分解法283

10.1抛物型方程的有限差分解法283

10.1.1 古典显式格式284

10.1.2 古典隐式格式285

10.1.3 六点对称格式286

10.2差分方程的稳定性与收敛性287

10.2.1 差分方程的稳定性288

10.2.2 差分方程的收敛性291

10.3双曲型方程的有限差分解法291

10.3.1 二阶双曲型方程的差分格式291

10.3.2 差分格式的稳定性及收敛性294

10.3.3 一阶双曲型方程的特征线法296

10.4椭园型方程的有限差分解法299

10.4.1 Poisson方程的差分格式299

10.4.2 边界条件的处理301

10.4.3 差分方程的收敛性及求解303

习题十304

参考书目307