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第一章 插值1

1.1 引言1

1.2 多项式插值1

1.2.1 最简单的插值公式2

1.2.2 一般的多项式插值和误差5

1.2.3 关于多项式插值的运用7

1.3 片段多项式插值9

1.3.1 简单的片段多项式插值9

1.3.2 三次样条插值13

1.3.3 参数表达的样条插值16

1.3.4 样条插值的物理背景18

1.3.5 方法比较19

1.4 数值微分19

1.4.1 数值微分公式19

1.4.2 数据误差对于微分的影响22

1.5 一般样条和基样条25

1.5.1 一些简单的样条函数25

1.5.2 分节区间上的一般样条29

1.5.3 山丘形基样条31

1.5.4 等间距的基样条35

1.6 多项式和样条的最小二乘法37

1.6.1 最小二乘问题37

1.6.2 多项式的最小二乘法38

1.6.3 样条的最小二乘法40

第二章 数值积分43

2.1 引言43

2.2 梯形求积公式45

2.3 辛浦生求积公式47

2.4.1 基于梯形和辛浦生公式的自动积分法48

2.4 自动积分，逐次分半加速法48

2.4.2 逐次分半加速法50

2.5 高斯型求积公式53

2.6 用切氏级数展开的积分法及方法比较57

2.7 在离散点上给出函数的积分，平均抛物插值法62

2.8 周期函数的积分65

2.9 奇异积分，不连续的被积函数66

2.9.1 存在有限个间断点的有界的被积函数66

2.9.2 无界的被积函数66

2.10 在无穷区间上的积分71

2.11 计算重积分的累次积分法74

2.12 计算高重积分的数论网格法75

附表2.1 高斯-勒让德求积公式的结点和系数78

附表2.2 高斯-拉盖尔积分公式的结点和系数79

附表2.3 高斯-埃尔米特求积公式的结点和系数81

附录2.4 数论网格法的最优系数82

附录 积分程序85

一 TRAP：梯形积分法(给定步长)85

二 SEMP：辛浦生积分法(给定步长)85

三 ASMP：辛浦生积分法(自动选步长)86

四 ROMB：逐次分半加速积分法87

五 CLEN：用切氏级数展开的积分法(计算定积分)88

六 ITGL：用切氏级数展开的积分法(计算不定积分)90

七 CHEB：计算切比雪夫级数值92

八NITG：在离散点上给出函数的积分93

第三章 谐波分析96

3.1 傅氏级数96

3.2 傅氏积分99

3.2.1 傅氏变换的基本性质99

3.2.2 一些初等函数的傅氏变换103

3.2.3 广义微分106

3.3.1 卷积的定义和性质113

3.3 卷积与傅氏变换的对偶性质113

3.3.2 样条函数及其傅氏变换116

3.3.3 卷积的物理意义121

3.3.4 傅氏变换的对偶关系122

3.4 离散傅氏变换及其快速算法124

3.4.1 离散傅氏变换124

3.4.2 离散卷积126

3.4.3 快速傅氏变换128

3.5.1 离散取样与频谱混叠效应133

3.5 取样效应133

3.5.2 有限窗宽与频谱渗漏效应137

3.5.3 连续与离散傅氏变换的关系139

3.6 谱的近似计算140

3.6.1 傅氏级数的近似计算140

3.6.2 谱函数的近似计算142

3.6.3 功率谱的估算144

第四章 曲线拟合与经验公式147

4.1 问题的提出147

4.2.1 基本算法149

4.2 线性模型中参数的确定149

4.2.2 线性模型的推广152

4.3 非线性模型中参数的确定154

4.3.1 基本算法--高斯-牛顿法154

4.3.2 算法改进--麦夸脱法156

4.3.3 实例与算法比较157

4.3.4 程序160

4.4 借助数学方法选取表达式162

4.4.1 问题的提出162

4.4.2 变量的正交筛选法163

4.4.3 筛选中的一些问题166

4.4.4 表达式的半自动挑选167

4.5 随机尝试法168

4.5.1 一般的随机尝试法169

4.5.2 改进的随机尝试法169

4.5.3 在实际计算中应注意的事项170

第五章 回归分析173

5.1 回归问题173

5.2 法方程174

5.3 法方程解的统计性质176

5.4 预报因子舍选和逐步回归计算179

5.5 逐步回归计算中的几个问题187

5.5.1 计算参量的选取187

5.5.2 回归效果的检验187

5.5.3 线性回归模型的推广188

5.5.4 逐步回归计算一例188

第六章 时间序列分析192

6.1 时间序列192

6.2.1 一维平稳时间序列分析193

6.2 平稳时间序列分析193

6.2.2 多维平稳时间序列分析197

6.3 时间序列的平稳性检验198

6.4 非平稳时间序列分析200

6.4.1 参数模型方法201

6.4.2 差分模型方法205

6.5 时间序列分析中的几个问题207

第七章 蒙特卡洛方法211

7.1 概论211

7.2 随机数的产生213

7.3.2 连续随机变量抽样215

7.3.1 离散随机变量抽样215

7.3 随机变量抽样215

7.4 随机向量抽样221

7.4.1 一般抽样方法221

7.4.2 正态向量抽样223

7.5 随机过程模拟224

7.5.1 正态马尔科夫过程的模拟225

7.5.2 有理谱正态平稳过程的模拟226

7.5.3 非平稳过程的模拟227

7.6 随机数的检验227

7.6.1 参数检验228

7.6.2 均匀性检验229

7.6.3 独立性检验230

7.6.4 组合规律性检验231

7.6.5 连检验232

7.7 加速收敛原理233

7.8 蒙特卡洛应用237

第八章 线性代数方程组的数值解法243

8.1 解线性代数方程组的直接法243

8.1.1 三角形方程组的解法244

8.1.2 高斯消去法245

8.1.3 主元素消去法250

8.1.4 直接分解法252

8.1.5 对称正定矩阵的平方根法和LDLT分解法254

8.1.6 镜像映射法255

9.8 方法的选择257

8.1.7 求逆矩阵问题259

8.1.8 特殊形状矩阵和高阶矩阵问题的直接解法261

8.1.9 关于结果精度的某些问题270

8.2 解线性代数方程组的迭代法278

8.2.1 前言278

8.2.2 一阶线性定常迭代法282

8.2.3 一阶线性定常迭代法的加速--切比雪夫半迭代法294

8.2.4 分块迭代法300

8.2.5 共轭斜量法303

8.3 线性矛盾方程组的最小二乘解法308

8.3.1 法方程组的建立309

8.3.2 法方程组的求解309

附录 线性代数方程组的求解程序317

一 列主元素消去法解线性代数方程组程序317

二 全主元素消去法解线性代数方程组程序318

三 直接分解法解线性代数方程组程序319

四 平方根法解对称正定线性代数方程组程序321

五 LDLT分解法解对称正定线性代数方程组程序323

六 解线性代数方程组的镜像映射法程序324

七 对称正定矩阵原地求逆程序326

八 全主元素消去法求逆矩阵程序327

九 平方根法解带型对称正定线性代数方程组程序328

十 变带宽对称正定线性方程组求解程序330

十一 追赶法解三对角线方程组程序332

十二 列主元素法解非对称带状方程组程序333

十三 共轭斜量法解线性代数方程组程序335

十四 解线性矛盾方程组的镜像映射法程序338

十五 解线性矛盾方程组的正交化法程序340

十六 共轭斜量法解线性矛盾方程组程序342

9.1 引言345

第九章 非线性方程和非线性方程组的解法345

9.2 求实根的区间分半法346

9.2.1 方法简述346

9.2.2 执行步骤347

9.3 线性插值法(弦位法)347

9.3.1 方法简述347

9.3.2 方法的收敛性348

9.3.3 计算步骤349

9.4 牛顿法350

9.4.2 方法的收敛性350

9.4.1 方法简述350

9.4.3 计算步骤351

9.5 二次插值法351

9.5.1 方法简述351

9.5.2 方法的收敛性352

9.5.3 方法的若干细节处理353

9.5.4 计算步骤353

9.6 线性分式插值法354

9.6.1 方法简述354

9.6.2 方法的收敛性355

9.6.3 方法的异常情况和处理355

9.6.4 计算步骤355

9.7 求非线性方程全部解的处理方法356

9.7.1 应用二次插值法求函数f(z)在复平面上的有限个零点356

9.7.2 应用线性分式插值法求f(x)在给定区间［a，b］上的全部实零点357

9.10 解非线性方程组的牛顿迭代法359

9.9 非线性方程组的解法359

9.11 最速下降法361

9.12 DFP方法363

附录 解非线性方程和方程组程序367

一 HITL：区间分半法367

二 HYPE：线性分式插值法(求一个实零点)368

三 HPBL：线性分式插值法(求区间上全部单零点)369

四 NWTN：求函数零点(实或复的)的牛顿法373

五 MULR：二次插值法程序(求函数f(z)在复平面上的n个零点)375

六 SNWT：解非线性方程组的牛顿法379

七 DSNT：解非线性方程组的最速下降法和牛顿迭代法382

八 VMTC：DFP方法385

第十章 代数特征值问题的解法390

10.1 引言390

10.2 振动问题的提法391

10.2.1 有限自由度系统391

10.2.2 连续系统393

10.2.3 化为代数特征值问题396

10.3.1 概述397

10.3 代数特征值问题的数值解法397

10.3.2 几种变换矩阵及其特性398

10.3.3 幂法及其推广402

10.3.4 旋转法及其推广420

10.3.5 化对称矩阵为三对角线型的方法425

10.3.6 广义代数特征值问题Ax=λBx的解法433

附录 代数特征值问题计算程序439

一 实对称矩阵的雅可比法程序439

二 任意实矩阵的广义雅可比法程序442

三 化实对称矩阵为三对角型程序446

四 对称三对角型矩阵的区间分半法程序448

五 求对称三对角型矩阵特征向量的反幂法程序450

六 化带型实对称矩阵为三对角型程序453

七 化Ax=λBx为普通特征值问题程序456

八 QR方法求任意实矩阵全部特征值程序459

第十一章 常微分方程初值问题数值解法465

11.1 一些典型过程的微分方程465

11.1.1 生灭过程与稳定性465

11.1.2 简谐振动和阻尼谐振466

11.2.1 常系数线性微分方程组468

11.2 一般的微分方程组及其稳定性468

11.2.2 变系数及非线性微分方程组469

11.2.3 病态微分方程470

11.3 差分方法和有关的概念470

11.3.1 尤拉方法471

11.3.2 截断误差471

11.4 数值稳定性471

11.3.3 显式和隐式472

11.3.4 单步与多步472

11.4.1 判稳方法473

11.4.2 尤拉公式的稳定性474

11.4.3 非线性方程差分解法的判稳问题475

11.5 隐式方程和相应解法476

11.5.1 比卡迭代法和预估校正公式476

11.5.2 牛顿迭代法与预估校正公式478

11.6 基于数值积分的方法478

11.7 基于数值微分的方法483

11.8 基于幂级数展开的方法485

11.9 方法概述487

12.1 几个典型方程的特点488

第十二章 偏微分方程初值问题数值解法488

12.2 过程的稳定性和定解条件的恰当性490

12.3 差分格式492

12.4 差分格式的稳定性494

12.5 守恒型差分格式496

12.5.1 守恒律的积分形式与微分形式497

12.5.2 守恒律的离散形式500

12.6 扩散方程的差分格式504

12.7 对流方程的差分格式509

12.8 双曲型方程组517

12.9 双曲型方程组的差分格式520

第十三章 偏微分方程边值问题数值解法526

13.1 问题的来源526

13.1.1 椭圆方程及其定解条件526

13.1.2 守恒原理527

13.1.3 变分原理529

13.2 离散化和差分格式530

13.3 基于守恒原理的差分格式532

13.4 基于变分原理的差分格式537

13.5.1 简单迭代法和松弛法541

13.5 松弛法541

13.5.2 迭代法概述544

13.5.3 模型问题的频谱和矩阵表达546

13.5.4 收敛性分析548

13.5.5 变参数松弛法550

13.5.6 初期收敛性的比较551

13.6 实际计算中的处理553

13.6.1 收敛控制和问题规模的估计553

13.6.2 迭代参数的试选方法554

13.6.3 关于复杂情况的处理555

13.7.1 简单迭代的加速556

13.7 变参数简单迭代法556

13.7.2 平均收敛速度560

13.7.3 有关参数的试选方法562

13.7.4 不稳定性和稳化方法563

13.7.5 递推的切氏迭代法565

第十四章 有限元方法569

14.1 变分原理569

14.1.1 椭圆方程的变分原理569

14.1.2 关于变分问题的正定性573

14.2.1 三角剖分575

14.2 几何剖分与分片插值575

14.2.2 三角形上的线性插值576

14.2.3 线元上的线性插值579

14.2.4 重心坐标580

14.2.5 三角形上的二次插值583

14.3 变分问题的离散化584

14.3.1 单元分析585

14.3.2 总体合成587

14.3.3 强加条件和缝隙的处理591

14.3.4 代数计算和结果解释592

14.3.5 方法的特点593

14.4 有限元法的一些应用593

14.4.1 轴对称问题594

14.4.2 本征值问题596

14.4.3 平面弹性问题599

14.4.4 二次插值的应用606

附录 算法语言BCY简介608

1 概述608

2 BCY中的几种主要成分610