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译者的话1

第一章数值计算的某些一般原理1

1.1 引言1

英译本序2

1.2数值方法中的某些共同思想和概念2

约定3

1.3数值问题与算法14

1.3.1 定义14

1.3.2 递推公式；Horner 法则16

1.3.3 数值不稳定性的一个例子18

第二章怎样得到和估计数值计算中的精确度24

2.1 误差估计中的基本概念24

2.1.1 引言24

2.1.2 误差的来源25

2.1.3 绝对误差与相对误差26

2.1.4 舍入及截断27

2.2 误差的传播29

2.2.1 误差分析简例29

2.2.2 误差传播的一般公式；最大误差及标准误差33

2.2.3 误差估计的实际应用38

2.2.4 试验性摄动的用途42

2.2.5 精度的自动控制42

2.3 数系；浮点及定点表示48

2.3.1 定位系统48

2.3.2 浮点及定点表示49

2.3.3 浮动的小数点50

2.3.4 固定的小数点52

2.3.5 采用浮点算术运算作计算时的舍入误差53

2.4.1 向后误差分析59

2.4 向后误差分析；条件数59

2.4.2 问题及算法的条件数61

2.4.3 误差分析的几何说明64

第三章级数的数值应用69

3.1 级数的初等应用69

3.1.1 简单例子69

3.1.2 余项的估计71

3.1.3 幂级数75

3.2 收敛的加速82

3.2.1 慢收敛的交错级数82

3.2.2 慢收敛的正项级数83

3.2.3 加速收敛的其他简单方法85

3.2.4 病态级数86

3.2.5 发散级数的数值用途87

4.1.1 引言93

第四章函数逼近93

4.1 逼近的基本概念93

4.1.2 函数空间的概念96

4.1.3 范数及半范数97

4.1.4 函数逼近作为函数空间中的几何问题99

4.2 用最小二乘作函数逼近101

4.2.1 问题的陈述101

4.2.2 正交系102

4.2.3 逼近问题的解106

4.3 多项式112

4.3.1 基本术语；Weierstrass 逼近定理112

4.3.2 多项式的三角族113

4.3.3 三角族及其在插值中的应用114

4.3.4 等距插值及 Runge 现象117

4.4 正交多项式及其应用120

4.4.1 Tchebycheff 多项式120

4.4.2 Tchebycheff 插值及光滑123

4.4.3 正交多项式的一般理论126

4.4.4 Legendre 多项式及 Gram 多项式131

4.5 多项式逼近的补充研究136

4.5.1 多项式用途的总结136

4.5.2 关于 En(f)的某些不等式及其在线性泛函计算中的应用140

4.5.3 最大值范数意义上的逼近144

4.5.4 幂级数的减缩；标准函数146

4.5.5 最小二乘法在统计中的一些应用147

4.6 样条函数153

5.1 引言159

第五章数值线性代数159

5.2 线性代数的基本概念160

5.2.1 基本定义160

5.2.2 分块矩阵162

5.2.3 线性向量空间163

5.2.4 特征值与相似变换165

5.2.5 奇异值分解与广义逆166

5.3 解线性方程组的直接法170

5.3.1 三角形方程组170

5.3.2 Gauss 消去法171

5.3.3 迭主元技巧174

5.3.4 LU 分解179

5.3.5 Gauss 消去法的紧凑方案183

5.3.6 逆矩阵185

5.4.1 对称正定矩阵189

5.4 特殊矩阵189

5.4.2 带状矩阵192

5.4.3 大型线性方程组196

5.4.4 其它稀疏矩阵198

5.5 线性方程组的误差分析203

5.5.1 一个病态的例子204

5.5.2 向量及矩阵范数205

5.5.3 扰动分析206

5.5.4 Gauss 消去法的舍入误差208

5.5.5 线性方程组的比例因子212

5.5.6 解的迭代改进215

5.6 迭代法221

5.7 超定线性方程组230

5.7.1 法方程231

5.7.2 正交化方法236

5.7.3 最小二乘解的改进241

5.7.4 具有线性约束的最小二乘问题242

5.8 特征值及特征向量的计算244

5.8.1 幂法247

5.8.2 基于相似变换的方法249

5.8.3 解方程求特征值法253

5.8.4 QR 算法255

第六章非线性方程257

6.1 引言257

6.2 初始近似值；起步方法258

6.2.1 引言258

6.2.2 分半方法259

6.3 Newton-Raphson 方法261

6.4.1 方法的描述267

6.4 割线法267

6.4.2 割线法的误差分析269

6.4.3 试位法270

6.4.4 其他有关方法271

6.5 迭代法的一般理论274

6.6 迭代法的误差估计及可达到的精度280

6.6.1 误差估计280

6.6.2 可达到的精度；迭代终止判别282

6.7 重根285

6.8 代数方程286

6.8.1 引言286

6.8.2 紧缩法289

6.8.3 病态代数方程290

6.9 非线性方程组292

6.9.1 迭代法293

6.9.2 Newton-Raphson 方法及某些修正294

6.9.3 其他方法296

第七章有限差分及其在数值积分、微分以及插值方面的应用300

7.1 差分算子及其最简单的性质300

7.2 推导近似公式及误差估计的简单方法310

7.2.1 问题的陈述及某些典型例子310

7.2.2 重复的 Richardson 外推法317

7.3 插值324

7.3.1 引言324

7.3.2 什么时候线性插值就足够了？325

7.3.3 Newton 的一般插值公式326

7.3.4 等距插值公式329

7.3.5 关于插值法的补充说明332

7.3.6 Lagrange 插值公式335

7.3.7 Hermite 插值336

7.3.8 反插值法337

7.4 数值积分342

7.4.1 矩形法则，梯形法则和 Romberg 方法343

7.4.2 梯形公式的截断误差347

7.4.3 数值积分中的某些困难及可能性347

7.4.4 Euler-Maclaurin 求积公式352

7.4.5 Euler-Maclaurin 公式的用途355

7.4.6 数值积分的其他方法358

7.5 数值微分364

7.6 算子的运算369

7.6.1 算子代数369

7.6.2 算子级数及其应用371

7.7 多变量函数378

7.7.1 一次用一个变量计算379

7.7.2 矩形网格点380

7.7.3 不规则三角形网格点384

第八章微分方程392

8.1 理论背景392

8.1.1 常微分方程的初值问题392

8.1.2 误差传播395

8.1.3 其它微分方程问题400

8.2 Euler 方法；重复的 Richardson 外推法401

8.3 常微分方程初值问题的其它方法405

8.3.1 改进的中点公式405

8.3.2 幂级数方法409

8.3.3 Runge-Kutta 方法410

8.3.4 隐式方法412

8.3.5 Stiff 问题414

8.3.6 步长控制416

8.3.7 二阶方程的有限差分法418

8.4 常微分方程边值问题及特征值问题的概况425

8.4.1 引言425

8.4.2 打靶法426

8.4.3 带状矩阵法428

8.4.4 特征值问题的数值例子431

8.5 差分方程435

8.5.1 常系数齐次线性差分方程436

8.5.2 一般线性差分方程439

8.5.3 以试验问题分析数值方法441

8.5.4 线性多步法444

8.6.1 引言454

8.6 偏微分方程454

8.6.2 初值问题的例子455

8.6.3 边值问题的例子461

8.6.4 待定系数法及变分方法464

8.6.5 有限元方法468

8.6.6 积分方程470

第九章Fourier 方法480

9.1 引言480

9.2 Fourier 分析的基本公式和定理482

9.2.1 单变量函数482

9.2.2 多变量函数488

9.3 快速 Fourier 分析490

9.3.1 一个重要的特殊情况490

9.3.2 快速 Fourier 分析，一般情况492

9.4 非周期函数的周期延拓495

9.5 Fourier 积分定理498

第十章最优化502

10.1 问题的陈述，定义，及标准形502

10.2 单纯形方法506

10.3 对偶性516

10.4 运输问题与某些其它优化问题518

10.5 非线性最优化问题520

10.5.1 基本概念和介绍性的例子520

10.5.2 线寻查523

10.5.3 无约束优化的算法524

10.5.4 超定非线性方程组526

10.5.5 约束优化528

第十一章Monte Carlo 方法532

11.1 引言532

11.2 随机数字和随机数533

11.3 应用；方差的缩减540

11.4 伪随机数549

第十二章 习题解答552

第十三章文献目录和已发表的算法661

13.1 引言661

13.2 数值分析的一般文献661

13.3 数表，公式集，和习题665

13.4 误差分析及函数逼近667

13.5 线性代数和非线性方程组669

13.6 插值，数值积分及微分方程数值处理673

13.7 最优化；模拟676

13.8 评论、文摘及别的期刊679

13.9 对已发表的算法评介681

1960～1970年按课题分类的算法索引682