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第一篇 微积分1

第一章 函数与极限1

§1．1 函数的概念1

一、集合 区间与邻域1

二、函数的概念2

三、函数的几种特性3

§1．2 初等函数4

一、反函数4

三、初等函数5

二、复合函数5

四、双曲函数与反双曲函数6

§1．3 极限8

一、数列的极限8

二、函数的极限11

§1．4 无穷小量与无穷大量14

一、无穷小量14

二、无穷小量的运算定理15

三、无穷大量15

四、无穷小量的比较16

一、函数和、差、积、商的极限17

§1．5 函数极限的运算法则17

二、求极限的一些方法19

§1．6 极限存在准则 两个重要极限20

§1．7 函数的连续性与间断点23

一、函数的连续性23

二、函数的间断点24

§1．8 连续函数的运算与初等函数的连续性26

一、连续函数的运算法则26

二、初等函数的连续性26

§1．9 闭区间上连续函数的性质27

第一章 习题28

第二章 导数与微分32

§2．1 导数概念32

一、两个具体问题32

二、导数的定义33

三、基本初等函数的导数34

四、进一步讨论35

§2．2 函数和、差、积、商的求导法则36

§2．3 反函数与复合函数的导数38

一、反函数的导数38

二、复合函数的求导法则39

三、双曲函数与反双曲函数的导数40

四、求导公式小结41

§2．4 高阶导数41

§2．5 隐函数的导数 由参数方程所确定的函数的导数43

一、隐函数的导数43

二、由参数方程所确定的函数的导数44

三、求导举例46

一、微分的概念47

§2．6 函数的微分47

二、微分的计算49

§2．7 导数与微分的应用50

第二章 习题52

第三章 中值定理与导数的应用55

§3．1 微分学中值定理55

一、罗尔(Rolle)定理55

二、拉格朗日(Lagrange)中值定理56

三、柯西(Cauchy)中值定理57

四、应用举例58

一、O／O型未定式59

§3．2 罗必塔(L Hospital)法则59

二、∞／∞型未定式60

三、其它类型的未定式61

§3．3 泰勒(Taylor)公式62

§3．4 函数的单调性与极值64

一、函数单调性的判定64

二、函数的极值66

三、函数的最大值和最小值68

§3．5 曲线的凹凸性与拐点69

§3．6 函数作图71

一、渐近线72

二、依据函数特性作图73

§3．7 曲率及其应用75

一、弧微分75

二、曲率75

三、曲率的计算76

四、应用举例77

第二章 习题78

第四章 不定积分81

§4．1 不定积分的概念与性质81

一、原函数与不定积分的概念81

三、基本积分公式82

二、不定积分的性质82

§4．2 换元积分法83

一、第一类换元积分法83

二、第二类换元积分法86

§4．3 分部积分法89

§4．4 几种特殊函数的积分91

一、有理函数的积分举例91

二、三角函数有理式的积分94

三、简单无理函数的积分94

§4．5 积分表的使用95

第四章 习题96

第五章 定积分及其应用98

§5．1 定积分的概念与性质98

一、定积分问题举例98

二、定积分的定义99

三、定积分的基本性质100

§5．2 微积分基本公式102

一、积分上限的函数102

二、牛顿-莱布尼兹公式103

§5．3 定积分的换元积分法104

§5．4 定积分的分部积分法105

§5．5 定积分的近似计算106

一、梯形法107

二、抛物线法107

§5．6 广义积分与伽玛(Gamma)函数109

一、无穷限的广义积分109

二、无界函数的广义积分110

三、伽玛(Gamma)函数111

二、平面图形的面积112

一、定积分的元素法112

§5．7 平面图形的面积112

§5．8 体积115

一、旋转体的体积115

二、平行截面面积为已知的立体的体积116

§5．9 平面曲线的弧长117

一、直角坐标情形117

二、参数方程情形118

三、极坐标情形118

§5．10 功 水压力和引力119

一、变力沿直线所作的功119

三、引力120

二、水压力120

第五章 习题121

第六章 空间解析几何与矢量代数125

§6．1 矢量125

一、空间直角坐标系125

二、矢量的概念126

三、矢量的线性运算127

四、矢量的乘法运算131

§6．2 平面与直线135

一、平面135

二、空间直线139

§6．3 一些常见的二次曲面及空间曲线144

一、常见的二次曲面145

二、空间曲线151

第六章 习题153

第七章 多元函数的微分法及其应用156

§7．1 多元函数的基本概念156

一、多元函数及其定义域156

二、二元函数的几何表示157

三、二元函数的极限158

四、二元函数的连续性159

一、偏导数160

§7．2 二元函数的偏导数与全微分160

二、高阶偏导数163

三、全微分及其应用164

§7．3 多元复合函数与隐函数的求导法则167

一、多元复合函数的求导法则167

二、全微分形式不变性168

三、隐函数的求导法则169

§7．4 微分法在几何上的应用170

一、空间曲线的切线与法平面170

二、曲面的切平面与法线173

一、方向导数175

§7．5 方向导数与梯度175

二、梯度177

§7．6 多元函数的极值及其求法179

一、多元函数的极值179

二、条件极值182

第七章 习题184

第八章 重积分187

§3．1 二重积分的概念187

一、引例187

二、二重积分的定义188

§8．2 二重积分的性质189

一、利用直角坐标计算二重积分191

§8．3 二重积分的计算191

二、利用极坐标计算二重积分195

§8．4 三重积分的概念199

§8．5 三重积分的计算200

一、利用直角坐标计算三重积分201

二、利用柱面坐标计算三重积分203

三、利用球面坐标计算三重积分205

一、曲面的面积207

§8．6 二重积分的应用207

二、平面薄片的重心209

三、平面薄片的转动惯量210

四、平面薄片对质点的引力211

第八章 习题212

第九章 曲线积分与曲面积分216

§9．1 曲线积分216

一、对弧长的曲线积分216

二、对坐标的曲线积分219

§9．2 格林(Green)公式223

三、两类曲线积分之间的关系223

§9．3 平面曲线积分与路径无关的条件228

§9．4 曲面积分231

一、对面积的曲面积分231

二、对坐标的曲面积分233

三、两类曲面积分之间的关系237

第九章 习题239

第十章 微分方程242

§10．1 微分方程的基本概念242

一、可分离变量的微分方程244

§10．2 一阶微分方程244

二、一阶线性微分方程246

三、一阶微分方程应用举例249

§10．3 可降阶的高阶微分方程251

一、y(n)＝f(x)型的微分方程251

二、y″＝f(x,y′)型的微分方程251

三、y″＝f(y,y′)型的微分方程252

§10．4 二阶常系数齐次线性微分方程253

§10．5 二阶常系数非齐次线性微分方程256

第十章 习题262

§11．1 常数项级数的概念和性质265

一、常数项级数的基本概念265

第十一章 无穷级数265

二、无穷级数的基本性质267

§11．2 常数项级数的审敛法269

一、正项级数及其审敛法269

二、交错级数 任意项级数及绝对收敛274

§11．3 幂级数275

一、函数项级数的一般概念275

二、幂级数及其收敛性276

三、幂级数的运算278

一、泰勒级数279

§11．4 函数展开成幂级数279

二、函数展开成幂级数280

§11．5 函数的幂级数展开式的应用283

一、近似计算283

二、欧拉(Euler)公式284

§11．6 傅立叶(Fourier)级数285

一、三角级数 三角函数系的正交性285

二、函数展开成傅立叶级数286

§11．7 正弦级数和余弦级数289

§11．8 周期为2l的周期函数的傅立叶级数291

§11．9 傅立叶级数的复数形式293

第十一章 习题295

第二篇 积分变换298

第十二章 傅立叶变换298

§12．1 傅立叶积分298

§12．2 傅立叶变换299

一、傅立叶变换的概念299

二、单位脉冲函数及其傅立叶变换300

三、非周期函数的频谱302

§12．3 傅立叶变换的性质304

§12．4 卷积307

第十二章 习题309

第十三章 拉普拉斯变换311

§13．1 拉普拉斯变换的概念311

§13．2 拉氏变换的性质314

§13．3 拉氏逆变换318

§13．4 卷积321

§13．5 拉普拉斯变换的应用323

第十三章 习题327

第三篇 线性代数329

第十四章 n阶行列式329

§14．1 n阶行列式的定义329

§14．2 n阶行列式的性质333

§14．3 克莱姆法则338

第十四章 习题340

第十五章 矩阵342

§15．1 矩阵的概念342

一、矩阵的定义342

二、几种特殊矩阵343

§1 5．2 矩阵的运算344

一、矩阵的加法344

二、数与矩阵相乘344

三、矩阵与矩阵相乘345

四、矩阵的转置347

五、方阵的行列式348

§15．3 矩阵的秩349

§15．4 逆矩阵350

§15．5 矩阵的初等变换354

一、矩阵的初等变换354

二、利用初等变换求矩阵的秩354

三、初等方阵356

四、利用初等变换求逆矩阵357

第十五章 习题358

§16．1 非齐次线性方程组361

第十六章 线性方程组361

§16．2 齐次线性方程组367

§16．3 线性方程组的数值解法371

一、主元素消去法372

二、迭代法375

第十六章 习题378

第四篇 概率论380

第十七章 随机事件及其概率380

§1 7．1 随机事件 事件的关系及运算380

一、随机试验380

二、随机事件 样本空间381

三、随机事件的关系及运算382

§1 7．2 频率、概率及其性质384

一、频率384

二、概率的统计定义385

三、概率的公理化定义386

§17．3 古典概型388

一、古典概型的计算公式388

二、排列与组合388

三、古典概型计算例题389

一、条件概率392

§17．4 条件概率与事件的独立性392

二、事件的独立性394

§17．5 全概率公式与贝叶斯公式397

一、全概率公式397

二、贝叶斯(Bayes)公式398

第十七章 习题399

第十八章 随机变量及其分布402

§18．1 随机变量402

一、概率分布律403

二、常见离散型概率分布举例403

§18．2 离散型随机变量的概率分布403

§18．3 随机变量的分布函数406

§18．4 连续型随机变量的概率密度409

一、连续型随机变量 概率密度409

二、连续型随机变量概率分布举例410

§18．5 二维随机变量413

一、二维随机变量及其分布函数413

二、二维离散型随机变量414

三、二维连续型随机变量415

四、边沿分布416

五、随机变量的相互独立性418

§18．6 随机变量的函数及其分布420

一、一维随机变量的函数420

二、二维随机变量的函数423

第十八章 习题425

第十九章 数字特征 大数定律与中心极限定理429

§19．1 数学期望429

一、数学期望429

二、数学期望的性质432

§19．2 方差433

§19．3 协方差 相关系数436

§19．4 大数定律与中心极限定理437

一、大数定律437

二、中心极限定理438

第十九章 习题440

附录Ⅰ 几种常用的曲线442

附录Ⅱ 积分表445

附录Ⅲ 傅氏变换简表452

附录Ⅳ 拉氏变换简表455

附录Ⅴ 正态分布表459

习题参考答案461