《高等数学 下》

第八章 多元函数微分学1

1 多元函数的概念1

一 平面点集与区域1

二 多元函数的概念4

三 二元函数的极限与连续性7

2 偏导数13

一 偏导数的概念13

二 高阶偏导数18

3 全微分及其应用22

一 全微分的概念22

二 全微分在近似计算中的应用28

4 多元复合函数微分法32

一 多元复合函数微分法32

二 全微分形式不变性39

三 多元复合函数的高价偏导数40

5 隐函数微分法43

一 一个方程所确定的隐函数的微分法43

二 方程组所确定的隐函数的微分法46

6 方向导数与梯度52

一 方向导数52

二 梯度54

7 偏导数在几何上的应用57

一 空间曲线的切线与法平面57

二 曲面的切平面与法线62

8 多元函数的极值及求法66

一 多元函数的极值及求法66

二 条件极值——拉格朗日乘数法74

9 二元函数的台劳公式79

一 二元函数的台劳公式79

二 二元函数极值充分条件的证明84

第九章 重积分88

1 二重积分的概念及性质88

一 二重积分问题的引例88

二 二重积分的定义90

三 二重积分的性质91

2 二重积分的计算93

一 直角坐标系中二重积分的计算方法93

二 极坐标系中二重积分的计算方法103

三 二重积分的一般变量代换109

3 三重积分的概念及性质112

一 三重积分的定义112

二 三重积分的性质113

4 三重积分的计算115

一 直角坐标系中三重积分的计算法115

二 柱面坐标系中三重积分的计算法121

三 球面坐标系中三重积分的计算法123

四 三重积分的一般变量代换127

5 重积分的应用130

一 几何方面的应用130

二 物理、力学方面的应用134

第十章 曲线积分及曲面积分140

1 第一类曲线积分140

一 第一类曲线积分的概念及性质140

二 第一类曲线积分的计算143

2 第二类曲线积分146

一 矢量场的概念147

二 第二类曲线积分的概念及性质147

三 第二类曲线积分的计算法151

四 第一、二类曲线积分之间的关系158

3 格林公式159

一 格林(Green)公式160

二 平面曲线积分与路径无关的条件168

4 第一类曲面积分174

一 第一类曲面积分的概念及性质174

二 第一类曲面积分的计算法176

5 第二类曲面积分178

一 有向曲面178

二 第二类曲面积分的概念及性质179

三 第二类曲面积分的计算法184

6 高斯公式 曲面积分与曲面无关的条件189

一 高斯(Gauss)公式189

二 曲面积分与曲面无关的条件194

7 斯托克斯公式 空间曲线积分与路径无关的条件196

一 斯托克斯(Stokes)公式196

二 空间曲线积分与路径无关的条件201

8 矢量场的散度与旋度202

一 矢量场的散度202

二 矢量场的旋度205

三 哈米尔顿(Hamilton)算子209

第十一章 级数213

1 数项级数213

一 无穷级数的基本概念213

二 级数的基本性质216

三 正项级数敛散性的判别法220

四 任意项级数敛散性的判别法231

2 幂级数240

一 幂级数的收敛区间与收敛半径241

二 幂级数的性质247

3 函数的幂级数展开255

一 台劳级数255

二 函数展开成幂级数258

三 台劳级数的应用265

4 函数项级数的一致收敛性和一致收敛级数的基本性质274

一 函数项级数的一致收敛性276

二 一致收敛级数的基本性质281

5 傅立叶级数286

一 三角函数系的正交性288

二 傅立叶级数290

三 正弦级数与余弦级数298

四 一般周期函数的傅立叶级数304

五 傅立叶级数的复数形式310

第十二章 微分方程315

1 微分方程的基本概念315

一 引例315

二 微分方程的基本概念318

2 一阶微分方程320

一 可分离变量方程320

二 齐次方程324

三 一阶线性方程327

四 全微分方程332

五 一阶微分方程应用举例338

六 一阶微分方程的近似解法345

3 可降阶的高阶微分方程350

一 y(n)=f(x)型351

二 y″=f(x，y′)型352

三 y″=f(y，y′)型353

四 可降阶的高阶微分方程应用举例354

4 线性微分方程解的结构357

一 线性齐次微分方程解的结构358

二 线性非齐次微分方程解的结构360

5 常系数线性微分方程361

一 常系数线性齐次微分方程361

二 常系数线性非齐次微分方程366

三 常系数线性微分方程的应用举例375

6 变系数线性微分方程382

一 二阶变系数线性齐次方程383

二 二阶变系数线性非齐次方程386

三 欧拉方程388

7 常微分方程的幂级数解法简介390