《数学分析教程 下》

第九章无穷级数1

9．1数值级数的基本问题2

一、基本概念2

二、级数的收敛条件5

三、基本性质8

习题一10

9．2正项级数13

一、基本定理13

二、正项级数的比较判别法13

三、Cauchy积分判别法20

四、Cauchy根值判别法21

五、达朗贝尔（D'Alembert）比值判别法23

六、拉贝（Raabe）判别法27

七、高斯（Gauss）判别法29

习题二32

9．3任意项级数37

一、交错级数的收敛性38

二、绝对收敛与条件收敛41

三、任意项级数的收敛判别法43

四、绝对收敛级数的性质49

习题三55

9．4函数项级数59

一、函数项级数的基本概念59

二、一致收敛性62

三、一致收敛性判别法66

四、一致收敛级数的分析性质73

习题四77

9．5幂级数79

一、幂级数的收敛半径80

二、幂级数的和函数的分析性质84

三、函数的幂级数展开88

四、幂级数的某些应用98

习题五102

9．6富里哀（Fourier）级数106

一、三角函数系的正交性107

二、Euler-Fourier公式108

三、Fourier级数110

四、收敛定理111

五、将周期函数展为富里哀级数118

六、正弦（余弦）级数与函数的奇偶延拓121

七、周期变换126

八、富里哀级数的复数形式131

九、最佳均方逼近134

习题六138

第十章常微分方程143

10．1微分方程的基本概念143

习题一149

10．2一阶微分方程151

一、可分离变量的方程151

二、齐次方程157

三、一阶线性微分方程160

四、Clairaut方程、奇解168

习题二173

10．3特殊类型的二阶微分方程179

一、y″=f（x,y′）型的微分方程179

二、y″=f（y,y′）型的微分方程182

习题三185

10．4二阶线性微分方程解的结构186

习题四190

10．5二阶线性常系数微分方程191

一、二阶线性常系数齐次方程的解法196

二、二阶线性常系数非齐次方程的解法205

三、二阶线性常系数非齐次方程的常数变易法216

四、欧拉（Euler）方程219

习题五222

10．6微分方程的幂级数解法227

习题六230

10．7常系数线性齐次微分方程组230

习题七237

第十一章空间解析几何239

11．1空间直角坐标系239

一、空间中点的直角坐标239

二、坐标轴的平移241

三、两点间的距离242

习题一243

11．2向量代数244

一、向量的概念244

二、向量的加减法、数与向量的乘积245

三、向量的坐标表示248

四、向量的数量积254

五、向量的向量积258

六、向量的混合积264

习题二266

11．3平面和直线270

一、平面270

二、直线277

三、交于一直线的平面束286

习题三288

11．4空间曲面与空间曲线291

一、球面与柱面291

二、空间曲线294

三、锥面298

四、旋转曲面300

五、几个常见的二次曲面302

六、曲面的参数方程305

习题四306

第十二章多元函数微分学309

12．1多元函数的概念309

一、邻域、点列的极限309

二、开集、闭集、区域311

三、平面点集的几个基本定理313

四、多元函数的概念315

五、二元函数的几何意义317

习题一318

12．2多元函数的极限与连续320

一、二元函数的极限320

二、二重极限与累次极限325

三、二元函数的连续性327

四、有界闭区域上连续函数的性质329

习题二331

12．3偏导数与全微分333

一、偏导数333

二、全微分337

习题三346

12．4方向导数与梯度349

一、方向导数349

二、梯度352

习题四354

12．5复合函数微分法354

一、全导数354

二、复合函数微分法356

三、一阶全微分形式的不变性361

习题五363

12．6隐函数微分法365

一、隐函数存在定理366

二、雅可比（Jacobi）行列式369

三、隐函数微分法371

习题六375

12．7微分法的几何应用377

一、空间曲线的切线与法平面377

二、曲面的切平面与法线379

习题七381

12．8高阶偏导数与高阶全微分383

一、高阶偏导数383

二、高阶全微分389

习题八391

12．9二元函数的泰勒公式393

习题九397

12．10极值与条件极值397

一、极值397

二、最小二乘法406

三、条件极值——拉格朗日乘数法411

习题十418

第十三章含参变量积分421

13．1含参变量的常义积分421

习题一429

13．2含参变量的广义积分432

一、含参变量广义积分的一致收敛性432

二、含参变量广义积分的性质435

习题二442

13．3Beta函数与Gamma函数444

一、Gamma函数Γ（S）445

二、Beta函数B（p,q）446

三、Beta函数B（p,q）与Gamma函数Γ（S）的关系449

四、余元公式449

五、Euler积分应用举例451

习题三454

第十四章重积分456

14．1二重积分的概念和性质456

一、两个典型问题456

二、二重积分的概念459

三、二重积分的性质461

习题一464

14．2二重积分的计算465

一、直角坐标系中二重积分的计算465

二、用极坐标计算二重积分476

三、二重积分的一般变量替换481

习题二488

14．3三重积分的概念与计算493

一、三重积分的概念493

二、直角坐标系中三重积分的计算495

习题三500

14．4三重积分的变量替换501

一、一般换元公式501

二、柱面坐标变换502

三、球面坐标变换504

习题四508

14．5重积分的应用511

一、曲面的面积511

二、重积分在物理中的应用举例514

习题五520

14．6广义重积分522

习题六526

第十五章曲线积分、曲面积分和场论初步528

15．1对弧长的曲线积分528

一、对弧长的曲线积分的概念528

二、对弧长的曲线积分的计算530

习题一534

15．2对坐标的曲线积分536

一、对坐标的曲线积分的概念536

二、对坐标的曲线积分的计算540

三、两类曲线积分的关系545

习题二546

15．3格林公式547

习题三555

15．4平面曲线积分与路径无关的条件557

习题四564

15．5对面积的曲面积分567

一、对面积的曲面积分的概念567

二、对面积的曲面积分的计算568

习题五572

15．6对坐标的曲面积分574

一、曲面侧的概念574

二、对坐标的曲面积分的概念575

三、对坐标的曲面积分的计算579

四、两类曲面积分的关系585

习题六585

15．7奥高公式587

习题七594

15．8斯托克斯公式、空间曲线积分与路径无关的条件596

一、斯托克斯公式596

二、空间曲线积分与路径无关的条件602

习题八604

15．9场论初步605

一、场的概念605

二、数量场的等值面与梯度606

三、向量场的通量与散度609

四、向量场的环量与旋度613

五、管量场与势量场616

六、算子〓619

习题九620

参考数目623

习题答案624