《有限元数学基础和误差估计》

序言1

第一章索伯列夫空间及其性质1

1 Lp(Ω)空间的定义1

2 H？lder不等式和Mikowski不等式3

3 Lp(Ω)空间的完备性5

4 Lp(Ω)空间的可分性9

5 磨光算子与均值逼近13

5.1 磨光算子(软化子)的定义13

5.2 均值逼近定理15

6 单位分解定理21

6.1 有穷单位分解定理21

6.2 无穷单位分解定理23

7.1 弱广义微商25

7 广义微商及其性质25

7.2 强广义微商29

7.3 广义微商的性质31

8 索伯列夫空间及其性质32

8.1 索伯列夫空间的定义32

8.2 索伯列空间W？(Ω)的完备性33

8.3 ？(Ω)空间37

第二章索伯列夫空间嵌入定理39

1 空间？(Ω)中的积分恒等式40

1.1 函数u(x)的积分表示式40

1.2 导函数D？u(x)的积分表示式45

2 位势积分定理48

2.1 位势第一积分定理48

2.2 S维流形与位势第二积分定理51

3 索伯列夫空间积分恒等式55

4 索伯列夫空间嵌入定理56

4.1 空间W？(Ω)往？或者？(Ω)嵌入57

4.2 空间W？(Ω)往L？(Г？)和W？(Ω)嵌入59

5 索伯列夫空间等价模61

5.1 空间？(Ω)61

5.2 索伯列夫等价模定理62

5.3 Poincarè和Friedrichs不等式64

6 W？(Ω)的商空间65

6.1 空间L？(Ω)66

6.2 商空间的定义与性质67

第三章索伯列夫空间扦值理论70

1 Lax-Milgram定理70

1.1 Lax-Milgram定理72

1.2 广义Lax-Milgram定理74

2 边值问题的几个例子75

3 扦值问题的提出79

4 一维线性扦值83

4.1 问题的描述83

4.2 一维线性扦值逼近定理84

5 二维线性扦值87

5.1 问题的描述87

5.2 二维线性扦值逼近定理88

6 n维r次扦值92

6.1 Fréchet导数92

6.2 几个引理94

6.3 n维r次扦值逼近定理101

1.1 能量空间与能量模的定义104

1 能量空间与能量模估计104

第四章椭园型方程有限元解的误差估计104

1.2 能量模估计106

2 L2(Ω)模估计与尼采技巧110

3 逆性质与最大模估计114

3.1 有限元的逆性质115

3.2 有限元解的H？(Ω)模估计118

3.3 有限元解的最大模估计119

4 Nitsche加权模方法与最大模估计121

4.1 加权模定义与权函数关系式121

4.2 加权扦值逼近定理124

4.3 最大模估计126

5 负模估计和超收敛144

5.1 负模估计145

5.2 有限元解的超收敛估计147

第五章抛物型方程有限元解的误差估计150

1 半离散解的L2模和梯度估计150

1.1 变分形式与半离散近似150

1.2 L2模估计153

1.3 梯度估计156

2 全离散解的误差估计159

2.1 Euler-Galerkin方法和L2模估计159

2.2 Crank-Nicolson-Galerkin方法与L2模估计162

3 非标准的Galerkin方法166

3.1 问题的提出166

3.2 尼采方法与？·？模估计167

3.3 有限元近似的一般方法174

3.4 L2模与梯度估计176

4.1 ？空间和先验估计179

4 带光滑数据齐次方程的误差估计179

4.2 半离散解的L2模估计183

5 负模估计188

5.1 负模？·？H？和？·？H？，h的定义及关系189

5.2 负模估计192

第六章奇异系数方程有限元解的误差估计197

1 引言197

2 一维稳态问题199

2.1 变分形式与离散方程199

2.2 加权L2模估计202

2.3 L∞模估计207

3 一维非稳态问题214

3.1 半离散解加权L2模估计215

3.2 半离散解最大模估计217

9 二维稳态问题221

4.1 记号与定义221

4.2 问题的描述与弱形式222

4.3 离散方程与扦值逼近定理225

4.4 H？(Ω)模和L？(Ω)模估计230

5 二维非稳态问题231

5.1 变分形式和半离散近似231

5.2 半离散解的L？(Ω)模和加权梯度估计233

6 一类二维奇异边值问题236

6.1 加权索伯列夫空间与弱形式237

6.2 离散问题和扦值逼近238

6.3 有限元解的误差估计239

参考资料240