《微分方程可积性的群分析理论》

第一章 预备知识(一阶拟线性偏微分方程)1

1 基本概念1

2 化拟线性方程为线性齐次方程3

3 柯西问题的提法4

4 线性齐次一阶偏微分方程的通解5

5 几个例子8

6 三元线积分及完全可积波发夫方程11

第二章 平面单参数Lie变换群18

1 平面单参连续变换群及其无穷小变换18

2 平面单参群的不变式和不变形26

3 平面单参群的几个实例31

4 平面单参群的无穷小变换的一般形式38

5 单参群的参数选取和变元代换43

6 Lie氏换位定理及其应用48

7 化任意单参群为平移群·典则变元51

8 定理6证明的分析54

第三章 一阶显式常微分方程56

1 一阶显式微分方程对单参群的不变性56

2 一阶显式方程的许可群与积分因子的联系59

3 一阶显式方程许可单参群U的解析判则64

4 由积分因子求一阶方程所许可的单参群66

5 引入典则变元求积法(分离变量的一般法则)67

6 同一方程所许可的诸单参群之间的关系69

7 许可给定的群U的全部一阶方程73

1 预备知识77

第四章 二维线性驻定微分系统的通解公式77

2 几个引理78

3 通解公式89

4 若干注记96

第五章 n元单参连续变换群及引伸群98

1 n元单参群及其无穷小变换式98

2 n元单参群的不变量和不变图形101

3 平面单参群的引伸群106

4 n维实解析自治微分系统的Lie级数型形式通解110

第六章 一阶隐式常微分方程113

1 许可引伸群U′的一阶隐式微分方程113

2 利用无穷小变换求奇解116

3 常见平面单参群许可的最广一阶微分方程118

4 保面积单参群对Lie氏基本问题的应用131

5 Scott分离变量判则的推广134

第七章 线性非自治微分方程的若干新可积型140

1 二阶线性齐次微分方程140

2 三阶线性齐次微分方程144

3 四阶线性自共轭方程的可积情形147

第八章 高阶常微分方程151

1 许可已知单参群的最广二阶微分方程151

2 常见平面单参群许可的最广二阶方程154

3 特殊形式Riccati方程解法156

4 求二阶常微分方程的许可群的某些方法158

5 不许可任何单参群的二阶微分方程161

6 n阶引伸群及n阶不变微分方程164

1 积分因子的几何推导170

第九章 若干重要的应用170

2 具有公共积分因子的多个一阶显式方程173

3 平面等温曲线族175

4 等温曲线族判则178

5 对曲面研究的应用181

6 单参群解法在核能工程中的应用185

7 对天体力学问题的应用189

第十章 一阶线性偏微分方程的群分析198

1 完全系统及其性质198

2 完全系统解法205

3 线性一阶偏微分方程对单参群的不变性209

4 许可某单参群的三元线性齐次偏微分方程的解法214

5 Jacobi恒等式216

6 许可两个单参群的线性齐次偏微分方程217

7 许可二相异单参群时Af=0的解法220

第十一章 二阶常微分方程(续)230

1 许可已知单参群的二阶微分方程230

2 许可两个单参群的二阶微分方程234

3 二阶常微分方程许可的线性独立无穷小变换的个数239

4 无穷小变换的含r个参数的群240

5 公式(U1′，U2′)f≡(U1，U2)′f247

6 2--参数群的分类249

7 2--参数群的典则形式251

8 许可两个单参群的二阶微分方程解法(续)262

9 情形B的第二种解法267

1 连合线素族272

第十二章 切触变换群及对求积问题的应用272

2 切触变换275

3 切触变换群及其无穷小变换278

4 一阶隐式常微分方程的几何意义282

5 二阶微分方程的首次积分284

6 许可切触变换群的一阶常微分方程287

第十三章 含多个参数的平面连续变换群290

1 变换式中参数的实质性的判定290

2 含r个参数的连续变换群293

3 r参数群的无穷小变换式296

4 无穷小变换生成的r参数群301

5 Lie氏主要定理305

1 平面射影变换群及其无穷小变换式307

第十四章 Jacobi微分方程可积性的群分析307

2 一般平面射影变换群的轨道曲线族309

3 保角及保面积的平面射影变换群311

4 Jacobi微分方程与平面射影群的关系315

5 Jacobi方程的封闭可积性319

第十五章 三维自治线性微分系统的通解公式323

1 引言及符号323

2 实系数三次代数方程的根325

3 递推关系式329

4 几个引理332

5 通解公式338

6 若干注记347

附录：若干重要研究工作简介350

参考文献357