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第一卷31

第一部分基础31

第一章 预备知识和非标准分析的公理系31

1.历史引论31

2.语言和逻辑39

3.类型42

4.标准分析 M 的公理系44

5.非标准分析？M 的公理系47

第二章 几个基本问题53

6.函数概念53

7.实在数线 A255

8.单子和无穷58

9.实序宇宙60

10.归纳法66

11.区间和简单内函数68

12.和、乘积和二项式定理70

第二部分 非标准分析77

第三章 在 G2上的极限和连续性77

13.在 G2上的 M2中的序列的极限77

14.在？M 与在 G2上的 M2之间的基本概念的比较81

15.Cauchy 序列86

16.R2中的开集和闭集88

17.在 G2的函数的极限92

18.标准函数在标准点的极限94

19.在 M2/G2中函数的连续性96

第四章 在 M2/G2的导数和积分100

20.在 M2/G2的导数100

21.在 M2/G2中微分学的基本定理104

22.标准函数在标准点上的导数106

23.在 M2/G2的不定积分107

24.在 M2/G2的定积分109

25.？M 中定积分的重要性质114

26.在 M2/G2中将内函数转为标准函数的两个定理117

27.标准函数在标准区间上的定积分120

第五章 在 M2/G2初等函数及其图象122

28.在？M 中的初等函数122

29.分层坐标系126

30.在具无穷比值的三层坐标系中简单函数的图象128

31.切线和割线133

第三部分 第二微积分学139

第六章 第二微积分学139

32.历史回顾139

33.第二自然序集141

34.U2中元素的分类142

35.U2中的加法145

36.U2中的乘法150

37.U2中序的性质以及几点注释157

38.V2中的极限158

39.V2中的连续性161

40.V2中的导数和积分166

第四部分 Dirac Delta 函数的新理论175

第七章 Dirac Delta 函数的新理论175

41.Dirac Delta 函数的引论175

42.点 Delta 函数的定义179

43.在(-*∞，*∞)上的个体的点 Delta 函数180

44.在(-p,p)上的个体的点 Delta 函数191

45.F(δ(x))及其筛取性质194

46.由 Riemann 反常积分构造点 Delta 函数206

47.点 Delta 函数的性质214

48.由正交系导出的 Delta 函数227

第五部分 奇异函数和它们的积分243

第八章 奇异函数和它们的积分243

49.定义不完全函数和它们的积分243

50.关于奇异积分的简单例题256

51.单位阶跃函数的 Fourier 变换267

52.奇异函数的 Fourier 积分和 Fourier 变换的例题274

第九章 对微分方程及其基本解的应用280

53.奇异线性常微分方程式280

54.谐振子286

55.通过 Delta 函数去表示最简单常微分方程的解289

56.非线性常微分方程294

57.奇异线性椭圆型偏微分方程298

58.非线性椭圆型偏微分方程302

59.常系数椭圆型偏微分方程的基本解309

60.其他偏微分方程的基本解316

第六部分 多重微积分学初步329

第十章 多重微积分学初步329

61.多重实数线的公理系329

62.在多重实数线中的无穷小和无穷大332

63.多重实序宇宙334

64.在多重微积劳中的 Delta 函数337

65.在多重微积分中的奇异函数及其积分344

66.把 Fourier 变换表示为 Fourier 级数347

第一卷参考文献351

第一卷索引360

67.商高和陈夫子的科学成就373

第十一章 中国科技史拾零373

第七部分 专题集粹373

第二卷373

68.墨翟在 Archimedes 之前发现了 Archimedean 公理380

第十二章关于 Saint-Venant 原理的反例386

69.引言387

70.下半平面的反例389

71.圆盘上的反例393

72.下半空间的反例398

73.某些评注401

第十三章 二阶线性常微分方程 Sturm-Liouville 问题的显式解405

74.问题的提出406

75.矩阵 P(λ1,…λN)的性质和逆410

76.特征值和特征向量413

77.第一边值问题解的积分表示414

78.收敛性的估计420

79.第二边值问题解的积分表示423

80.初值问题解的积分表示427

81.第三边值问题解的积分表示429

82.混合边值问题解的积分表示433

第十四章 矩阵多项式方程的解438

83.矩阵多项式方程的解439

第十五章 微分方程数值方法455

84.一般理论455

85.二阶常微分方程边值问题的计算459

86.变分打靶法467

87.最小二乘法471

88.单形法473

第二卷索引477