《奇异积分方程》求取 ⇩

第一章 光滑曲线上的赫尔德函数类及其性质1

1. 光滑曲线 标准弧1

1.1 光滑曲线和它的某些性质1

1.2 标准弧和它的某些性质4

2. 赫尔德条件(条件H)和赫尔德函数类5

2.1 赫尔德条件和赫尔德函数类的一般概念5

2.2 光滑曲线上的H类函数6

3. 光滑曲线上H类函数的特征8

3.1 H类函数的最简单特征8

3.2 常见的一些H类函数9

3.3 H类函数的一个判定定理12

3.4 关于幅角函数的导数16

第一章习题18

4.1 连续函数的左(右)边界值21

4. 连续函数的边界值与分片全纯函数21

第二章 哥西型积分及其边界值性质21

4.2 分片全纯函数23

5. 哥西型积分及其边界值24

5.1 哥西型积分的定义24

5.2 哥西型积分的主值25

5.3 哥西型积分的边界值30

6. 索霍茨基--普来梅公式及其推广37

6.1 索霍茨基--普来梅公式37

6.2 边界值差之公式的推广38

7. 哥西型积分边界值的连续性质41

7.1 普来梅--普里瓦洛夫定理41

7.2 哥西积分主值的连续性质46

第二章习题48

8.1 希尔伯特问题的提法54

第三章 希尔伯持边值问题54

8. 希尔伯特问题的提法以及有关概念54

8.2 指标的概念55

8.3 按给定的跳跃函数求分片全纯函数的问题56

9. 齐次希尔伯特问题57

9.1 单连通域上齐次希尔伯特问题的标准解57

9.2 多连通域上齐次希尔伯特问题的标准解59

9.3 齐次希尔伯特问题的一般解60

9.4 相联齐次希尔伯特问题62

10. 非齐次希尔伯特问题62

11. 具有有理系数的希尔伯特问题64

第三章习题67

12. 带有哥西型核的奇异算子71

12.1 奇异方程和奇异算子71

第四章 带有哥西型核的奇异积分方程71

12.2 奇异算子的指标74

12.3 奇异算子的合成(乘积)74

12.4 相联算子和相联方程77

12.5 奇异算子的正则化算子78

13. 朋卡来--毕特朗换序公式79

14. 特征方程的解88

14.1 化特征方程为对应的希尔伯特问题88

14.2 特征方程解的公式89

14.3 特征方程的相联方程的解93

15. 奇异积分方程的基本定理97

15.1 奇异积分方程的正则化97

15.2 弗雷德霍姆方程解的一个性质98

15.3 维库阿等价性定理100

15.4 奇异积分方程的基本定理102

15.5 奇异积分方程与弗雷德霍姆方程的对比104

16. 卡来曼--维库阿正则化方法106

17. 基本定理的另一种证明方法109

17.1 弗雷德霍姆方程的豫解式109

17.2 再论奇异积分方程的基本定理115

18. 含参数λ的奇异积分方程121

第四章习题124

第五章 奇异积分方程在某些边值问题中的应用128

19. 广义哈尔那克定理128

19.1 在边界上给定的连续函数能做为某一解析函数边界值的条件128

19.2 广义哈尔那克(A.Harnack)定理131

20. 狄里克雷问题133

20.1 狄里克雷问题和变形狄里克雷问题133

20.2 唯一性定理135

20.3 借助变形的单层位势解变形狄里克雷问题137

20.4 借助双层位势解变形狄里克雷问题142

20.5 一些推论146

21. 狄里克雷问题149

21.1 化狄里克雷问题为变形狄里克雷问题149

21.2 解析函数的表示式152

第五章习题156

第六章 黎曼--希尔伯特边值问题158

22. 单连通区域上的史瓦尔兹问题158

22.1 单连通区域上的史瓦尔兹算子159

22.2 根据解析函数(它可以具有极点)的实部在边界上的值，来确定该解析函数的问题(问题A)161

22.3 正则化因子164

23.1 问题的提法171

23.2 齐次问题(c(s)≡0的情形)171

23. 单连通区域的黎曼--希尔伯特问题171

23.3 非齐次问题(c(s)？0的情形)173

23.4 单位圆情形的黎曼--希尔伯特问题174

23.5 黎曼--希尔伯特外问题179

23.6 黎曼--希尔伯特问题与希尔伯特问题之间的联系182

24. 多连通区域的黎曼--希尔伯特问题190

24.1 问题的提法191

24.2 变形黎曼--希尔伯特问题191

24.3 常系数的黎曼--希尔伯特问题197

24.4 化黎曼--希尔伯特问题为常系数的黎曼--希尔伯特问题199

25. 黎曼--希尔伯特问题的相联问题207

25.1 黎曼--希尔伯特问题对应的奇异积分方程207

25.2 相联积分方程和相联黎曼--希尔伯特问题209

25.3 可解性问题的研究212

第六章习题215

第七章 多个未知函数的希尔伯特问题和奇异积分方程组220

26. 多个未知函数的齐次希尔伯特问题220

26.1 有关的基本概念和公式220

26.2 解析向量函数的边界值性质222

26.3 齐次希尔伯特问题224

26.4 齐次希尔伯特问题的标准解组及其一般解234

27. 非齐次希尔伯特问题247

28. 带哥西型核的奇异积分方程组250

28.1 有关的概念和公式250

28.2 特征奇异积分方程组的解255

28.3 奇异积分方程组的基本定理263

附录 弗雷德霍姆积分方程265

参考文献280

索引281