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第一章 函数与极限1

§1．1 函数1

一、区间、绝对值、邻域1

二、函数定义2

三、函数的记号3

四、函数的表示法4

五、函数的几种特性4

六、反函数6

七、基本初等函数7

八、复合函数与初等函数11

九、建立函数关系式举例13

习题1-114

§1．2 函数的极限16

一、数列的极限16

习题1-2(1)22

二、函数的极限23

三、无穷小与无穷大29

习题1-2(2)32

一、函数连续性的定义34

§1．3 函数的连续性34

二、函数的间断点35

三、初等函数的连续性36

四、闭区间上连续函数的性质38

习题1-339

§2．1 导数的概念40

一、引例40

第二章 导数与微分40

二、导数的定义41

三、用定义求导举例42

四、导数的几何意义43

五、函数可导性与连续性的关系44

习题2-145

§2．2 导数的运算法则45

一、函数和的导数45

二、函数积的导数46

三、函数商的导数47

习题2-(1)48

四、复古函数的导数49

五、反函数的导数50

六、导数公式及求导法则52

习题2-2(2)53

七、高阶导数54

八、隐函数的导数55

九、参数方程所确定函数的导数57

习题2-2(3)58

§2．3 函数的微分60

一、微分的概念61

二、微分的几何意义62

三、微分的求法63

四、微分形式的不变性，复合函数的微分法64

五、微分在近似计算中的应用64

习题2-365

第三章 中值定理与导数应用67

§3．1 微分中值定理67

习题3-171

§3．2 罗必达法则72

习题3-275

§3．3 函数的增减性和极值76

习题3-380

§3．4 函数的最大值与最小值81

习题3-482

§3．5 曲线的凹凸与拐点83

习题3-585

§3．6 函数图形的描绘85

习题3-687

§3．7 曲线的曲率88

习题3-791

§3．8 泰勒公式92

习题3-895

第四章 不定积分97

§4．1 原函数与不定积分97

一、原函数与不定积分的概念97

二、不定积分的性质99

三、基本积分公式100

四、直接积分法101

习题4-1102

§4．2 换元积分法103

一、第一类换元法(凑微分法)103

习题4-2(1)107

二、第二类换元法108

习题4-2(2)112

§4．3 分部积分法113

习题4-3115

一、有理函数的积分116

§4．4 有理函数及三角函数有理式的积分116

二、三角函数有理式的积分119

习题4-4121

第五章 定积分123

§5．1 定积分的概念123

一、引例123

二、定积分的定义124

三、定积分的几何意义126

习题5-1127

§5．2 定积分的性质128

习题5-2130

§5．3 牛顿—莱布尼兹(Newton-Leibnlz)公式131

一、积分上限函数及其导数131

二、牛顿—莱布尼兹公式132

习题5-3133

§5．4 定积分的换元法与分部积分法134

一、定积分的换元法134

习题5-4(1)137

二、定积分的分部积分法138

习题5-4(2)140

§5．5 定积分的近似计算140

一、矩形法140

二、二梯形法141

三、抛物线法141

习题5-5143

§5．6 广义积分143

一、无穷区间上的广义积分143

二、无界函数的广义积分145

习题5-6146

§6．1 定积分的元素法147

第六章 定积分的应用147

§6．2 平面图形的面积148

一、直角坐标系中平面图形面积的计算148

二、极坐标系中平面图形面积的计算151

习题6-2153

§6．3 立体的体积153

一、旋转体的体积153

二、平行截面面积为已知的立体的体积155

一、直角坐标系中平面曲线的弧长156

习题6-3156

§6．4 平面曲线的弧长156

二、极坐标系中平面曲线的弧长157

习题6-4158

§6．5 定积分在物理上的应用158

一、变力所作的功158

二、液体的侧压力160

习题6-5161

§7．1 微分方程的基本概念163

第七章 微分方程163

习题7-1165

§7．2 可分离变量的一阶微分方程166

一、已分离变量的方程166

二、可分离变量的方程166

习题7-2167

§7．3 齐次微分方程168

习题7-3171

§7．4 一阶线性微分方程171

习题7-4175

§7．5 可降阶的高阶微分方程176

一、y~(n)=f(x)型176

二、y~″＝f(x，y′)型177

三、y″=f(y，y′)型179

习题7-5179

§7．6 高阶线性微分方程及其解的结构180

一、二阶线性微分方程举例180

二、二阶齐次线性微分方程解的性质及通解结构181

习题7-6183

三、二阶非齐次线性微分方程解的性质及解的结构183

§7．7 二阶常系数齐次线性微分方程184

习题7-7188

§7．8 二阶常系数非齐次线性微分方程188

一、f(x)＝e?P_m(x)型188

二、f(x)=e?[P_m(x)cosωx+P_(x)sinωx]型190

习题7-8192

一、空间点的直角坐标194

§8．1 空间直角坐标系194

第八章 空间解析几何194

二、空间两点间的距离195

习题8-1196

§8．2 向量的概念与线性运算196

一、向量的概念196

二、向量的加减注197

三、向量与数的乘法198

§8．3 向量的坐标199

一、向量在轴上的投影与投影定理199

习题8-2199

二、向量的坐标表示与向量的分量200

三、向量的模和方向余弦的坐标表示202

习题8-3204

§8．4 数量积与向量积204

一、两向量的数量积204

二、两向量的向量积206

习题8-4209

§8．5 平面209

二、平面的一般方程210

一、平面的点法式方程210

三、平面的截距式方程212

四、两平面的位置关系212

习题8-5213

§8．6 直线214

一、空间直线的一般方程214

二、空间直线的点向式方程和参数方程214

三、直线与直线的位置关系216

四、平面与直线的位置关系217

习题8-6219

五、点到平面的距离219

§8．7 曲面与曲线221

一、图形和方程221

二、二次曲面223

三、空间曲线226

四、空间曲线在坐标面上的投影227

习题8-7228

第九章 多元函数微分学229

§9．1 多元函数的基本概念229

一、多元函数概念229

二、二元函数的极限231

三、二元函数的连续性232

习题9-1232

§9．2 偏导数233

一、偏导数的定义及其计算法233

二、高阶偏导数235

习题9-2236

§9．3 全微分及其应用237

一、全微分的定义237

习题9-3239

二、全微分在近似计算中的应用239

§9．4 复合函数的求导法则240

习题9-4243

§9．5 隐函数的微分法243

习题9-5245

§9．6 微分法在几何上的应用245

一、空间曲线的切线与法平面245

二、曲面的切平面与法线247

一、极值及其求法249

§9．7 多元函数的极值249

习题9-6249

二、函数的最大值与最小值250

三、条件极值 拉格朗日乘数法251

习题9-7253

第十章 重积分254

§10．1 二重积分的概念与性质254

一、二重积分的概念254

习题10-1256

二、二重积分的性质256

§10．2 二重积分的计算法257

一、利用直角坐标计算二重积分257

习题10-2(1)261

二、利用极坐标计算二重积分261

习题10-2(2)264

§10．3 二重积分的应用264

一、曲面的面积265

二、平面薄板的重心266

三、平面薄板的转动惯量267

习题10-3268

§10．4 三重积分的概念及其计算法268

一、三重积分概念268

二、利用直角坐标计算三重积分269

三、利用柱面坐标计算三重积分270

四、利用球面坐标计算三重积分271

五、三重积分的应用272

习题10-4274

一、对弧长的曲线积分的概念与性质275

§11．1 对弧长的曲线积分275

第十一章 曲线积分与曲面积分275

二、对弧长的曲线积分的计算法276

习题11-1277

§11．2 对坐标的曲线积分278

一、对坐标的曲线积分的概念与性质278

二、对坐标的曲线积分的计算法279

§11．3 格林公式及其应用282

一、格林公式282

习题11-2282

二、平面上曲线积分与路径无关的条件285

三、二元函数的全微分求积286

习题11-3288

§11．4 对面积的曲面积分289

一、对面积的曲面积分的概念与性质289

二、对面积的曲积分的计算法290

习题11-4291

§11．5 对坐标的曲面积分292

一、对坐标的曲面积分的概念与性制292

二、对坐标的曲面积分的计算法294

§11．6 高斯(Gauss)公式296

习题11-5296

习题11-6298

第十二章 无穷级数299

§12．1 常数项级数的概念和性质299

一、常数项级数的概念299

二、无穷级数的基本性质301

习题12-1302

一、正项级数的审敛法303

§12．2 常数项级数的审敛法303

二、交错级数及其散性的判别法307

三、任意项数的敛散性308

习题12-2308

§12．3 幂级数309

一、函数项级数的一般概念309

二、幂级数及其敛散性310

三、幂级数的运算312

习题12-3313

§12．4 函数展开为幂级数314

习题12-4318

§12．5 函数幂级数展开式的应用319

一、函数值的近似计算319

二、定积分值的近似计算319

三、微分方程的幂级数解法320

四、欧拉公式320

§12．6 付里叶Fourier级数321

一、三角级数、三角函数系的正交性321

习题12-5321

二、函数的付里叶级数322

习题12-6325

§12．7 正弦级数和余弦级数326

一、奇函数和偶函数的付里叶级数326

二、函数展开成为正弦级数或余弦级数327

习题12-7328

§12．8 周期为2ι的周期函数的付里叶级数328

习题12-8329

习题答案330