《线性代数》求取 ⇩

第一章 行列式与Cramer法则1

§1 行列式的概念1

1．二阶与三阶行列式1

2．排列及其奇偶性4

3．n阶行列式的概念7

§2 行列式的基本性质11

§3 简化计算行列式的方法13

1．把行列式化为三角形行列式来计算13

2．Laplace降阶法14

§4 Cramer法则20

习题一25

第二章 矩阵及其在解线性方程组上的应用28

§1 矩阵及其初等变换的概念29

§2 用矩阵的秩判断线性方程组的解39

1．矩阵的秩39

2．线性方程组有解的充要条件41

3．齐次线性方程组有非零解的充要条件43

§3 矩阵的线性运算45

§4 矩阵乘法与矩阵的转置46

1．矩阵乘法的定义46

2．矩阵乘法不同于数量乘法的重要特性48

3．矩阵乘法的基本性质49

4．方阵的幂49

5．矩阵的转置51

§5 逆阵及其在解线性方程组上的应用52

1．逆阵的概念与性质53

2．方阵A可逆的充要条件与求A-1公式54

3．初等方阵与求逆阵的简便方法60

4．实对称矩阵与正交矩阵64

5．逆阵在解线性方程组上的应用65

§6 矩阵的分块69

1．矩阵的分块69

2．分块矩阵的运算法则70

3．分块对角阵73

习题二75

第三章 向量空间与线性方程组解的结构79

§1 n维向量的概念与线性运算80

1．n维向量的概念80

2．n维向量的线性运算82

§2 n维向量的线性相关性与线性无关性83

1．向量的线性组合与线性表示84

2．m个n维向量的线性相关性与线性无关性84

3．m个n维向量线性才目关的充要条件85

4．单位向量组及其特性86

5．m个n维向量线性相关的多判别法87

§3 向量组的极大无关组与向量组的秩91

1．向量组之间的等价关系91

2．向量组的极大无关组及其特性91

3．向量组的秩96

4．求极大无关组的方法98

5．解答本章引言中提出的第二个问题101

§4 向量空间及其基104

1．向量空间及其子它间的概念104

2．向量空间的基与维数106

3．向量在基下的坐标108

4．基变换与坐标变换111

§5 线性方程组解的结构116

1．齐次方程组解的结构117

2．非齐次方程组解的结构121

习题三126

第四章 相似矩阵与矩阵的对角化130

§1 矩阵的特征值与特征向量131

1．特征值与特征向量的概念131

2．特征值与特征向量的求法134

3．特征值与特征向量的基本理论139

1．相似矩阵及其基本性质144

§2 相似矩阵与矩阵的对角化144

2．矩阵的对角化146

§3 n维向量的内积155

1．二维与三维向量的内积155

2．n维向量的内积及其基本性质157

3．n维向量的夹角与正交159

§4 欧氏向量空间及其标准正交基160

1．欧氏向量空间中的单位向量160

2．正交向量组及其特性161

3．正交基与标准正交基161

4．Schmidt标准正交化方法165

§5 用正交矩阵把实对称矩阵对角化170

1．正交矩阵的特性170

2．实对称矩阵的特征值与特征向量的特性171

3．用正交矩阵把实对称矩阵对角化171

§6．用酉矩阵把Hermite矩阵对角化178

1．问题的提出179

2．复向量的内积、长度、夹角与正交180

3．酉空间 及其标准正交基183

4．酉矩阵与Hermite矩阵的特性183

5．用酉矩阵把Hermite矩阵对角化185

习题四187

第五章 合同矩阵与二次型的标准化190

§1 用正交变换把实二次型标准化191

1．n元实二次型——对应于实对称矩阵191

2．正交变换及其特性192

3．合同矩阵与合同变换193

4．用正交变换把实二次型标准化194

§2 用配方法把实二次型标准化198

§3 用初等变换法把实二次型标准化201

§4 惯性定理204

§5 正定二次型及其判别法207

习题五212

第六章 线性空间与线性变换214

§1 线性空间的概念及其基本性质215

1．线性空间的概念215

2．线性空间的基本性质218

3．子空间及其判别定理219

§2 向量的线性相关性与线性无关性220

§3 线性空间的基与维数、向量在基下的坐标220

§4 基变换与坐标变换223

§5 线性变换及其基本性质226

1．映射与变换228

2．线性变换的概念228

3．线性变换的基本性质230

4．线性变换的乘法与可逆线性变换231

5．线性变换的加法与数乘232

§6 线性变换的矩阵232

1．线性变换——对应于基下的矩阵233

2．线性变换的运算与矩阵的运算的关系237

3．求一适当的基使线性变换的矩阵最简单238

习题六244

习题答案与疑难习题解答248

习题一248

习题二250

习题三256

习题四264

习题五274

习题六283

附录一291

定理4—4的证明291

定理4—5的证明292

附录二295

1．入矩阵及其标准形295

2．入矩阵的初等因子及其求法296

3．使不能对角化的方阵相似于Jordan标准形297