《高等数学 上》

第一章 函数1

§1 集合与集合的映射1

一 集合1

二 集合的映射2

§2 实数集4

一 实数与数轴4

二 区间与邻域5

§3 函数概念7

一 变量与常量7

二 函数的定义8

三 函数的几何意义11

四 函数的几种性质15

§4 复合函数与反函数18

一 复合函数18

二 反函数20

§5 初等函数24

一 基本初等函数24

二 初等函数30

三 双曲函数31

一 面积问题34

§1 数列的极限34

第二章 极限34

二 数列的极限概念37

§2 函数的极限46

一 自变量趋向有限值时函数的极限46

二 自变量趋向无穷时函数的极限53

三 无穷小量与无穷大量55

四 海涅(Heine)定理59

§3 函数极限的性质与运算62

一 极限与函数值的关系62

二 函数极限与无穷小的关系63

三 无穷小的性质64

四 极限的四则运算定理66

§4 极限存在的准则及两个重要极限72

一 夹挤准则72

二 单调有界准则76

§5 无穷小量的比较81

§6 连续函数84

一 函数的连续性84

二 函数的间断点87

三 初等函数的连续性90

四 连续函数在闭区间上的性质94

五 一致连续概念98

第三章 导数与微分101

§1 导数概念101

一 导数问题的引例101

二 导数的定义104

三 导数的几何意义108

四 函数的可导性与连续性的关系112

五 常数和几个基本初等函数的导数115

§2 函数的微分法119

一 函数的和、差、积、商的求导法则119

二 反函数的导数124

三 复合函数的微分法128

四 高阶导数135

五 相关变化率139

§3 函数微分的概念141

一 微分的概念141

二 微分的几何意义145

三 微分公式146

§4 微分在近似计算上的应用149

一 函数的近似公式149

二 函数值的误差估计152

一 隐函数的导数156

§5 隐函数及参量函数的导数156

二 参量函数的导数161

三 极坐标系下曲线切线的斜率165

第四章 导数的应用168

§1 微分学中值定理168

一 罗尔定理168

二 拉格朗日定理170

三 柯西定理174

§2 罗比塔(L′Hospita)法则177

一 0/0型未定式177

二 ∞/∞型未定式181

三 其它类型的未定式184

§3 函数的增减性与极值186

一 函数增减的必要条件与充分条件186

二 函数的极值及其求法191

§4 函数的最大值、最小值198

§5 曲线的凹凸性与拐点203

§6 在直角坐标系下函数图形的描绘209

一 曲线的渐近线210

二 函数图形的描绘212

§7 台劳(Taylor)公式215

一 弧微分224

§8 曲率224

二 曲率227

三 曲率圆233

四 渐屈线与渐伸线236

§9 方程的近似根238

第五章 不定积分244

§1 不定积分的概念244

一 原函数244

二 不定积分的几何意义246

三 不定积分的性质248

四 基本积分表249

§2 基本积分法252

一 换元积分法253

二 分部积分法267

§3 几类函数的积分法273

一 有理函数的积分273

二 三角函数有理式的积分284

三 两种无理函数的积分288

§4 积分表的使用294

§1 定积分的概念298

一 定积分问题的两个引例298

第六章 定积分298

二 定积分的定义302

三 定积分的几何意义305

§2 定积分的性质308

一 定积分的性质308

二 定积分的中值定312

§3 定积分与原函数的关系315

一 变上限的定积分315

二 牛顿—莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式317

一 定积分的换元公式321

§4 定积分的计算方法321

二 定积分的分部积分公式328

§5 定积分的近似计算法331

一 矩形法331

二 梯形法333

三 抛物线法334

§6 广义积分初步与Γ函数341

一 积分区间为无穷的广义积分341

二 无界函数的广义积分345

三 Γ函数348

§7 定积分在几何上的应用350

一 平面图形的面积S351

二 立体的体积V358

三 平面曲线的弧长S364

四 旋转体的侧面积368

§8 定积分在物理上的应用370

一 变力所作的功370

二 引力问题373

三 液体的侧压力375

四 函数的平均值376

一 空间点的直角坐标380

§1 空间直角坐标系380

第七章 空间解析几何与矢量代数380

二 空间两点间的距离384

§2 矢量代数386

一 矢量概念386

二 矢量的运算387

三 矢量的坐标表达式391

四 数量积、矢量积、混合积399

§3 平面及其方程407

一 曲面方程的概念407

二 平面的点法式方程410

三 平面的一般式方程412

四 平面的截距式方程414

五 两平面的夹角415

§4 空间直线及其方程418

一 空间曲线方程的概念418

二 直线的标准式方程与参量式方程419

三 直线的一般式方程421

四 两直线的相互位置423

五 直线与平面的夹角424

§5 曲面及其方程426

一 柱面426

二 旋转面428

§6 二次曲面431

一 椭球面431

二 抛物面433

三 双曲面434

四 空间立体图形作法举例437

§7 空间曲线及其方程439

一 空间曲线的一般方程439

二 空间曲线的参量方程440

三 空间曲线在坐标面上的投影曲线442

附录 积分表447