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第八章 多元函数微分法及其应用1

§1 多元函数的概念1

一、二元函数的概念1

二、区域2

三、二元函数的几何表示3

四、多元函数及点函数的概念3

习题8—13

§2 极限与连续4

一、二元函数的极限4

二、二元函数的连续性6

习题8—27

§3 偏导数8

一、偏导数的定义及其计算8

二、二元函数偏导数的几何解释10

三、高阶偏导数10

习题8—311

§4 全微分及其应用12

一、全微分的定义12

二、全微分与偏导数13

三、全微分在近似计算上的应用15

一、复合函数的偏导数16

习题8—416

§5 复合函数微分法16

二、全导数18

三、复合函数的高阶偏导数19

四、全微分形式不变性19

习题8—520

§6 隐函数微分法21

一、一个方程确定的隐函数21

二、方程组确定的隐函数23

习题8—625

一、空间曲线的切线及法平面26

§7 多元函数微分法的几何应用26

二、曲面的切平面及法线27

习题8—730

§8 方向导数与梯度31

一、方向导数31

二、梯度32

习题8—833

§9 二元函数的泰勒公式34

§10 多元函数的极值37

一、多元函数的极值37

习题8—937

二、多元函数的最大值与最小值39

三、条件极值 拉格朗日乘数法40

习题8—1042

总习题八43

第九章 重积分45

§1 重积分的概念与性质45

一、重积分的概念45

二、重积分的性质48

三、二重积分的几何意义48

一、在直角坐标系中二重积分的计算法49

习题9—149

§2 二重积分的计算法49

习题9—2(1)54

二、在极坐标系中二重积分的计算法55

习题9—2(2)58

三、二重积分的一般变量代换60

习题9—2(3)62

§3 三重积分的计算法62

一、在直角坐标系中三重积分的计算法62

习题9—3(1)65

二、在柱坐标系中三重积分的计算法66

三、在球坐标系中三重积分的计算法67

习题9—3(2)69

§4 重积分的应用70

一、曲面的面积70

二、重心72

三、转动惯量74

习题9—476

总习题九77

二、第一型曲线积分的性质79

一、第一型曲线积分的定义79

§1 第一型曲线积分79

第十章 曲线积分与曲面积分79

三、第一型曲线积分的计算法80

习题10—182

§2 第二型曲线积分83

一、第二型曲线积分的定义83

二、第二型曲线积分的性质84

三、第二型曲线积分的计算法84

四、两类曲线积分的关系86

习题10—287

§3 格林(Green)公式及其应用88

一、格林公式88

二、曲线积分与路径无关的条件92

三、全微分的原函数93

习题10—396

§4 第一型曲面积分97

习题10—499

§5 第二型曲面积分100

一、第二型曲面积分的定义100

二、第二型曲面积分的性质101

三、第二型曲面积分的计算法102

§6 高斯(Gauss)公式 散度105

习题10—5105

习题10—6109

§7 斯托克司(Stokes)公式 旋度110

习题10—7115

总习题十115

第十一章 级数117

§1 常数项级数117

一、常数项级数的概念117

二、级数的基本性质118

三、柯西收敛准则121

习题11—1122

一、正项级数及其敛散性的判别法123

§2 常数项级数敛散性的判别法123

二、交错级数及其收敛判别法129

三、任意项级数的绝对收敛与条件收敛130

习题11—2135

§3 幂级数136

一、函数项级数的一般概念136

二、幂级数及其收敛性137

三、幂级数的运算140

§4 函数展开成幂级数143

一、泰勒级数143

习题11—3143

二、初等函数展开式145

习题11—4150

§5 幂级数在近似计算中的应用举例150

一、函数值的近似计算150

二、积分值的近似计算152

三、欧拉公式153

习题11—5153

§6 付里叶级数154

一、三角级数、三角函数系的正交性154

二、以2n为周期的函数的付里叶级数155

四、在有限区间内的函数的付里叶级数159

三、奇偶函数的付里叶级数159

五、周期变换163

习题11—6165

总习题十一166

第十二章 微分方程168

§1 微分方程的基本概念168

习题12—1170

§2 可分离变量的微分方程170

§3 可化为可分离变量的微分方程172

一、齐次方程172

习题12—2172

二、可化为齐次的方程174

三、其它可化为可分离变量方程174

习题12—3175

§4 一阶线性微分方程176

一、线性方程176

二、贝努利方程178

习题12—4179

§5 全微分方程180

习题12—5182

§6 一阶微分方程应用举例183

习题12—6186

§7 可降阶的高阶微分方程187

一、y ＝f(x)型的微分方程187

二、y ＝f(x、y )型的微分方程187

三、y ＝f(y，y )型的微分方程189

习题12—7191

§8 高阶线性微分方程及其解的结构191

习题12—8196

§9 二阶常系数齐次线性微分方程196

习题12—9199

一、f(x)＝e~(λx)p_m(x)型200

§10 二阶常系数非齐次线性微分方程200

二、f(x)＝e~x[P_1(x)cosβx＋P_n(x)sinβx]型203

习题12—10205

§11 欧拉方程205

习题12—11207

§12 微分方程的幂级数解法举例207

习题12—12209

§13 常系数线性微分方程组解法举例209

习题12—13210

总习题十二211

习题答案213