《高等数学 上》

第一章 函数与极限1

1.1 绝对值与区间1

1.1.1 绝对值1

1.1.2 区间2

习题1-13

1.2 数列极限3

1.2.1 数列3

1.2.2 数列的极限4

1.2.3 数列极限的性质7

1.2.4 数列极限的运算法则8

1.2.5 数列极限存在准则10

习题1-213

1.5.1 函数的连续性13

1.3 函数16

1.3.1 函数概念16

1.3.2 研究函数时常要考察的几种性质20

1.3.3 初等函数21

习题1-326

1.4.1 自变量趋于无限时函数的极限28

1.4 函数极限28

1.4.2 自变量趋向有限值时函数的极限30

1.4.3 函数极限的统一定义和性质32

1.4.4 无穷小量与无穷大量34

1.4.5 极限运算法则37

习题1-440

1.5 连续函数43

1.5.2 函数的间断点45

1.5.3 闭区间上连续函数的性质46

1.5.4 初等函数的连续性47

习题1-549

1.6 无穷小比较51

1.6.1 两个重要极限51

1.6.2 无穷小的比较55

习题1-658

第二章 导数与微分61

2.1 导数概念61

2.1.1 问题的提出61

2.1.2 导数定义62

习题2-166

2.2 求导法则68

2.2.1 函数的和差积商的求导法则68

2.2.2 反函数的求导法则70

2.2.3 复合函数的求导法则70

2.2.4 初等函数求导方法小结72

习题2-274

2.3 最值问题77

2.3.1 闭区间上连续函数的最值77

2.3.2 开区间内连续函数的最值78

习题2-380

2.4 微分及其应用81

2.4.1 微分概念81

2.4.2 微分运算83

2.4.3 微分在近似计算中的应用84

2.4.4 微分在误差估计中的应用85

习题2-487

2.5 求导法则补充88

2.5.1 隐函数求导法则88

2.5.2 参数方程所确定的函数的求导法则90

2.5.3 相关变化率91

习题2-592

2.6 高阶导数93

2.6.1 高阶导数93

2.6.2 莱布尼兹公式95

2.6.3 隐函数的高阶导数96

2.6.4 参数方程所确定函数的高阶导数96

习题2-697

3.1.1 原函数与不定积分概念100

3.1 原函数与不定积分100

第三章 不定积分与定积分100

3.1.2 不定积分基本公式101

习题3-1105

3.2 积分法则107

3.2.1 第一类换元积分法则107

3.2.2 第二类换元积分法则111

3.2.3 分部积分法则113

3.2.4 不能用初等函数表示的不定积分116

习题3-2116

3.3.1 有理函数的不定积分120

3.3 三种特殊类型函数的不定积分120

3.3.2 三角函数有理式的不定积分123

3.3.3 简单无理函数的不定积分125

习题3-3126

3.4 定积分概念129

3.4.1 实例129

3.4.2 定积分定义131

3.4.3 定积分性质134

3.4.4 微积分基本定理137

习题3-4140

3.5 定积分的计算142

3.5.1 定积分的换元积分法则142

3.5.2 定积分的分部积分法则144

3.5.3 定积分的近似计算146

习题3-5149

3.6 广义积分151

3.6.1 无穷区间上的广义积分151

3.6.2 无界函数的广义积分153

习题3-6154

3.7.1 定积分的元素法156

3.7 定积分应用156

3.7.2 平面图形的面积157

3.7.3 体积160

3.7.4 平面曲线的弧长162

3.7.5 定积分的物理应用164

习题3-7166

第四章 中值定理及导数应用168

4.1 微分中值定理与函数增减性判别168

4.1.1 罗尔定理168

4.1.2 拉格朗日定理169

4.1.3 函数的增减性判别171

4.1.4 柯西定理172

4.1.5 例题173

习题4-1174

4.2 洛必大法则176

4.2.1 ？型未定式177

4.2.2 ？型未定式179

4.2.3 其他类型未定式181

习题4-2183

4.3.1 泰勒公式185

4.3 泰勒公式185

4.3.2 几个常用的麦克劳林公式187

4.3.3 泰勒公式的应用举例189

习题4-3191

4.4 关于函数图形的讨论193

4.4.1 函数的极值193

4.4.2 函数的凹凸性与拐点195

4.4.3 渐近线197

4.4.4 函数作图199

习题4-4200

4.5 曲率202

4.5.1 曲率概念202

4.5.2 曲率圆204

4.5.3 渐屈线与渐伸线206

习题4-5207

4.6 方程近似解208

习题4-6210

5.1.2 微分方程的解211

5.1.1 什么是微分方程211

5.1 微分方程的一般概念211

第五章 微分方程211

习题5-1213

5.2 一阶方程214

5.2.1 变量可分离方程与分离变量法214

5.2.2 齐次方程与换元法216

5.2.3 一阶线性方程与常数变易法219

习题5-2223

5.3.1 可降阶的几类高阶方程225

5.3 高阶方程225

5.3.2 高阶线性方程的一般理论228

习题5-3233

5.4 常系数线性微分方程234

5.4.1 常系数齐线性方程的解法234

5.4.2 常系数非齐线性方程的解法236

5.4.3 欧拉方程238

习题5-4238

附录241

一、简明积分表241

二、几种常用的曲线247