《数学物理方程讲义》

第一章 方程的导出和定解条件1

1 守恒律1

1.1 弦振动方程和定解条件1

前言页1

1.2 热传导方程和定解条件8

1.3 流体力学基本方程组13

2 变分原理19

2.1 极小曲面问题19

2.2 膜的平衡问题22

2.3 带有障碍的膜平衡问题25

3 定解问题的适定性27

3.1 分类27

3.2 适定性的概念31

第一章习题33

1 初值问题38

1.1 问题的简化38

第二章 波动方程38

1.2 解的表达式42

1.3 能量不等式47

1.4 特征锥和特征线53

1.5 半无界问题62

2 混合问题68

2.1 分离变量法68

2.2 物理意义，驻波法与共振82

2.3 能量不等式85

2.4 广义解88

3 一阶双曲组与拟线性一阶双曲方程式95

3.1 特征理论96

3.2 等价积分方程组100

3.3 能量不等式103

3.4 一阶拟线性双曲型方程式概述106

第二章习题114

1 初值问题123

1.1 Fourier变换123

第三章 热传导方程123

1.2 Poisson公式132

1.3 广义函数及其Fourier变换简介136

1.4 基本解147

2 混合问题150

2.1 Green函数150

2.2 Green公式与混合问题的解154

3 极值原理与最大模估计157

3.1 弱极值原理157

1 极值原理与最大模估计160

3.2 第一边值问题解的最大模估计160

3.3 第二、三边值问题解的最大模估计162

3.4 边值问题解的能量模估计164

3.5 初值问题解的最大模估计166

3.6 一类不适定问题与对数凸性法168

第三章习题172

1.1 极值原理180

第四章 位势方程180

1.2 Dirichlet问题解的最大模估计185

1.3 Neumann问题与第三边值问题185

1.4 能量模估计188

2 基本解与Green函数190

2.1 基本解与Green公式190

2.2 Green函数194

2.3 圆上的Poisson公式198

3 调和函数的性质205

4.1 H？(Ω)空间208

4 变分方法208

4.2 变分问题的解的存在唯一性215

4.3 Ritz-Galerkin近似解法220

5 Cauchy问题与对数凸性法225

第四章习题229

第五章 Cauchy-Ковалевская定理与Lewy反例239

1 Cauchy-Ковалевская定理239

2 Lewy反例246

第五章习题248