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第一章方程的导出和定解条件1

1 守恒律1

1.1 动量守恒与弦振动方程2

1.2 能量守恒与热传导方程9

1.3 质量守恒与连续性方程14

2 变分原理17

2.1 极小曲面问题19

2.2 膜的平衡问题21

3 定解问题的适定性25

第一章习题28

第二章波动方程33

1 一阶线性方程的特征线解法33

2 初值问题(一维情形)37

2.1 问题的简化38

2.2 解的表达式41

2.3 依赖区间、决定区域和影响区域44

2.4 能量不等式47

2.5 半无界问题53

3 初值问题(高维情形)60

3.1 解的表达式60

3.2 特征锥与惠更斯原理65

4 混合问题70

4.1 分离变量法70

4.2 物理意义，驻波法与共振87

4.3 能量不等式90

4.4 广义解92

5 一阶拟线性双曲方程式概述98

第二章习题108

第三章热传导方程117

1 初值问题117

1.1 Fourier变换117

1.2 Poisson公式126

1.3 广义函数简介131

1.4 基本解142

1.5 半无界问题146

2 混合问题150

2.1 有界杆的热传导问题150

2.2 圆形区域上的热传导问题154

3 极值原理与最大模估计161

3.1 弱极值原理161

3.2 第一边值问题解的最大模估计163

3.3 第二、三边值问题解的最大模估计164

3.4 初值问题解的最大模估计168

3.5 边值问题解的能量模估计169

3.6 反向问题的不适定性172

第三章习题173

第四章位势方程183

1 基本解与Green函数183

1.1 基本解与Green公式183

1.2 Green函数189

1.3 圆上的Poisson公式193

2 极值原理与调和函数的性质200

2.1 极值原理200

2.2 边值问题解的最大模估计205

2.3 能量模估计208

2.4 调和函数的性质210

3 变分方法213

3.1 H1(Ω)空间213

3.2 变分问题的解的存在唯一性217

3.3 Ritz-Galerkin近似解法223

4 Cauchy问题的不适定性228

第四章习题231

第五章二阶线性偏微分方程的分类242

1 分类242

2 二个自变量的方程的化简246

2.1 特征理论246

2.2 二个自变量的方程的化简250

第五章习题254