《数学物理方法 第2版》求取 ⇩

第一部分 复变函数论及其应用1

第一章 复数的基本概念1

1.1 复数及其运算规则1

1.2 复数的几何表示2

1.3 复数序列·极限的概念5

1.4 无穷远点6

第二章 解析函数8

2.1 复变函数·区域的概念·极限·连续和一致连续8

2.2 导数10

2.3 解析函数·科希-里曼(Cauchy-Riemann)条件12

2.4 解析函数与调和函数的关系14

3.2 指数函数17

3.1 幂函数17

第三章 初等函数17

3.3 三角函数和双曲线函数18

3.4 多值函数·根式？19

3.5 对数函数26

3.6 多值函数w=arc sinz28

3.7 函数zs(s为任意复数)30

第四章 复数积分·科希定理和科希积分公式32

4.1 复数积分32

4.2 复数积分的几个重要性质32

4.3 科希(Cauchy)定理34

4.4 不定积分·原函数39

4.5 科希积分公式41

4.6 科希积分公式的几个重要推论44

4.7 解析函数的实部和虚部的关系47

4.8 科希型积分50

第五章 无穷级数51

5.1 复数级数51

5.2 函数级数·外氏(Weierstrass)定理55

5.3 幂级数·阿贝耳(Abel)第一定理59

5.4 幂级数所代表的函数的解析性64

5.5 阿贝耳第二定理66

第六章 泰勒展开和洛浪展开69

6.1 解析函数的泰勒(Taylor)展开69

6.2 多值函数的泰勒展开75

6.3 在无穷远点邻域内的泰勒展开76

6.4 洛浪(Laurent)展开77

6.5 洛浪展开的例子82

6.6 伯努利(Bernoulli)数和欧勒(Euler)数84

第七章 单值函数的孤立奇点88

7.1 孤立奇点的分类88

7.2 可去奇点89

7.3 极点90

7.4 本性奇点92

7.5 无穷远点93

第八章 残数理论及其应用94

8.1 残数定理95

8.2 计算残数的公式97

8.3 应用残数理论计算定积分99

8.4 无穷积分101

8.5 含三角函数的无穷积分·约当(Jordan)引理104

8.6 积分路线上有奇点的情形·积分主值107

8.7 多值函数的积分110

8.8 其他例子112

8.9 应用残数定理计算无穷级数的和119

8.10 关于零点和极点的个数的定理124

第九章 含参数的积分·Г函数和B函数126

9.1 解析延拓的一个例子126

9.2 解析延拓127

9.3 含参数的定积分所表示的函数的解析性128

9.4 Г函数(第二类欧勒积分)131

9.5 Г函数的围道积分表示138

9.6 Г函数的渐近表示·斯特令(Stirling)公式140

9.7 B函数(第一类欧勒积分)143

10.1 拉氏(Laplace)变换146

第十章 拉普拉斯变换146

10.2 拉氏变换的基本性质148

10.3 拉氏换式的运算性质及其在解线性常微分方程初值问题中的应用149

10.4 像函数的民数和积分的反演153

10.5 折积定理156

10.6 傅里叶(Fourier)积分158

10.7 拉氏变换的普遍反演公式160

10.8 应用残数理论求反演161

10.9 δ函数165

10.10 δ函数的傅氏换式和拉氏换式169

第十一章 线性常微分方程的级数解法和积分解法171

11.1 二阶线性常微分方程的奇点171

11.2 方程常点邻域内的解171

11.3 方程奇点邻域内的解·正则解和正则奇点174

11.4 求正则解的例子·贝塞耳(Bessel)方程181

11.5 非正则奇点邻域内的正则解189

11.6 常规解和次常规解191

11.7 积分解法·拉普拉斯(Laplace)型方程196

11.8 勒让德方程的积分解·欧勒变换200

第二部分 数学物理方程203

第十二章 方程的导出和定解问题203

12.1 方程的来源203

12.2 杆的纵振动和弦的横振动204

12.3 热传导方程208

12.4 电报方程(传输线方程)211

12.5 边界条件和初值条件212

12.6 定解问题217

第十三章 分离变数法220

13.1 弦的自由振动220

13.2 解的诠释226

13.3 两端固定的弦的强迫振动228

13.4 非齐次边界条件·第一边值问题230

13.5 关于不含时间的问题的补充讨论233

第十四章 正交曲面坐标系中方程的变数分离237

14.1 坐标系的选择237

14.2 正交曲面坐标系中的梯度、散度、旋度和拉氏算符237

14.3 球坐标系和柱坐标系中方程V2u+λu=0的变数分离243

14.4 圆内的狄里希累(Dirichlet)问题246

第十五章 常微分方程的本征值问题251

15.1 二阶线性常微分方程的本征值问题251

15.2 斯特姆-刘维(Sturm-Liouville)型方程的本征值问题257

15.3 用正交函数组展开260

第十六章 特殊函数及其应用(一)·勒让德函数264

16.1 勒让德方程的本征值问题·有界条件·勒让德多项式264

16.2 勒让德多项式的微分表示--罗巨格(Rodrigues)公式268

16.3 P1(x)的正交性和归一因子270

16.4 P1(x)的完备性273

16.5 应用举例--均匀电场中的导体球274

16.6 P1(x)的生成函数278

16.7 应用举例280

16.8 P1(x)的递推关系286

16.9 连带勒让德函数288

16.10 P1(x)的正交归一关系290

16.11 P1(x)(m＞0)292

16.12 P1(x)的递推关系293

16.13 加法公式294

16.14 公式表296

第十七章 特殊函数及其应用(二)·贝塞耳函数300

17.1 贝塞耳(Bessel)函数Jn(x)300

17.2 Jn(x)的振荡特性·Jn(x)的零点301

17.3 贝塞耳函数的递推关系304

17.4 Jn(x)的生成函数和积分表达式305

17.5 加法公式307

17.6 贝塞耳方程的本征值问题308

17.7 应用举例--圆柱体的冷却312

17.8 第二类贝塞耳函数Y?(x)314

17.9 应用举例--空心圆柱体的径向振动318

17.10 最陡下降法320

17.11 贝塞耳函数的渐近表达式323

17.12 第三类贝塞耳函数H？(x),H?(x)·柱函数325

17.13 应用举例--电磁波在金属圆柱表面上的散射326

17.14 半奇数阶贝塞耳函数329

17.15 球贝塞耳函数j1(x)，n1(x)，h?(x)，h?(x)330

17.16 e？ihrco?用勒让德多项式展开331

17.17 变型(或虚宗量)贝塞耳函数333

17.18 应用举例--有限长圆柱体内的稳定温度场336

17.19 可化为贝塞耳方程的微分方程339

17.20 含贝塞耳函数的积分339

17.21 公式表341

18.2 拉氏算符的格临函数348

18.1 引言348

第十八章 格临函数348

18.3 格临函数的对称性354

18.4 广义格临函数355

18.5 无界区域的格临函数·基本解358

18.6 用正交函数组展开求格临函数362

18.7 用电像法求格临函数367

18.8 初值问题的格临函数·波动方程的推迟解·无初值问题370

第十九章 积分变换的应用378

19.1 应用拉氏变换于热传导问题378

19.2 应用积分变换解边值(初值)问题的普遍原理383

19.3 汉克耳(Hankel)变换385

第二十章 保角变换原理及其应用389

20.1 拉氏算符的变换389

20.2 解析函数的几何性质392

20.3 几种最简单的保角变换·线性变换394

20.4 分式线性变换396

20.5 分式线性变换下圆的特性·反演点对397

20.6 应用举例400

20.7 变换ξ=zn403

20.8 变换ξ=Inz405

20.9 多边形的变换(席伐尔兹(Schwartz变换)406

20.10 特殊情形下求A和ξi的公式410

20.11 应用举例--平行板边缘的电场413

20.12 把多边形外部变为上半平面的变换416

20.13 应用举例--儒可夫斯基(Жуковский)变换418

21.1 二阶线性偏微分方程的分类·两个自变量的情形420

第二十一章 二阶线性偏微分方程分类420

21.2 多个自变量的情形424

21.3 定解问题·一维波动方程的达朗伯(D′Alembert)解426

21.4 热传导方程和泊松(Poisson)方程的解的唯一性430

第二十二章 波动方程的几个特殊解法433

22.1 平均值方法·泊松公式433

22.2 柱面波·降维法436

22.3 里曼方法438

22.4 例443

第二十三章 变分法及其应用445

23.1 泛函和泛函的极值问题445

23.2 泛函数值的必要条件·欧勒方程447

23.3 几个自变量的情形·重积分所表示的泛函的极值问题450

23.4 泛函的条件极值问题452

23.5 测地线问题455

23.6 泛函的变分·泛函的导数457

23.7 变端点问题·自然边界条件459

23.8 应用于本征值问题460

23.9 高阶本征值和本征函数462

23.10 应用于边值问题465

23.11 里兹(Ritz)方法467

23.12 应用举例--圆形薄膜横振动的本征频率469

第二十四章 积分方程简介473

24.1 导致积分方程的问题举例473

24.2 积分方程的特点·与微分方程的比较477

24.3 线性积分方程的分类477

24.4 第二类F-型积分方程的逐次逼近解法479

24.5 预解式的概念483

24.6 应用逐次逼近法于第二类V-型方程487

24.7 退化核积分方程489

24.8 退化核逼近494

24.9 弗雷德霍姆(Fredholm)关于预解式的理论和公式497

24.10 逼近问题·正交函数组的应用·核的本征值问题504

24.11 傅氏级数逼近·希伯特(Hilbert)变换507

24.12 双正交函数组的应用509

24.13 积分变换的应用512

24.14 阿贝耳(Abel)方程·欧勒变换的应用516

24.15 席洛米许(Schl?milch)积分方程518

索引520

外国人名对照索引526

符号索引527