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第一部分 复变函数1

1 复数和复变函数1

1.1 预备知识：复数与复数运算1

1.2 复数序列3

1.3 复变函数4

1.4 复变函数的极限和连续5

1.5 无穷远点6

1.6 正十七边形问题6

习题7

2 解析函数8

2.1 可导与可微8

2.2 解析函数9

2.3 初等函数11

2.4 多值函数13

2.5 解析函数的保角性18

习题20

3 复变积分22

3.1 复变积分22

3.2 单连通区域的柯西定理23

3.3 复连通区域的柯西定理26

3.4 两个有用的引理27

3.5 柯西积分公式28

3.6 解析函数的高阶导数30

3.7 柯西型积分及含参量积分的解析性31

3.8 泊松公式32

习题34

4 无穷级数36

4.1 复数级数36

4.2 二重级数38

4.3 函数级数39

4.4 幂级数41

4.5 含参量的反常积分的解析性43

4.6 发散级数与渐近级数45

习题48

5 解析函数的局域性展开50

5.1 解析函数的泰勒展开50

5.2 泰勒级数求法举例51

5.3 解析函数的零点孤立性和解析函数的唯一性54

5.4 解析函数的洛朗展开55

5.5 洛朗级数求法举例57

5.6 单值函数的孤立奇点60

5.7 解析延拓62

5.8 伯努利数和欧拉数64

习题66

6 二阶线性常微分方程的幂级数解法68

6.1 二阶线性常微分方程的常点和奇点68

6.2 方程常点邻域内的解69

6.3 方程正则奇点邻域内的解73

6.4 贝塞耳方程的解76

6.5 方程非正则奇点附近的解80

习题83

7 留数定理及其应用84

7.1 留数定理84

7.2 有理三角函数的积分87

7.3 无穷积分88

7.4 含三角函数的无穷积分90

7.5 实轴上有奇点的情形91

7.6 多值函数的积分93

7.7 应用留数定理计算无穷级数的和96

7.8 留数定理的其他应用97

习题98

8 Γ函数101

8.1 Γ函数的定义101

8.2 Γ函数的基本性质102

8.3 ψ函数104

8.4 B函数106

8.5 Γ函数的普遍表达式108

8.6 Γ函数的渐近展开110

8.7 几个特殊函数公式的订正111

8.8 黎曼ζ函数和默比乌斯变换113

习题115

9 拉普拉斯变换117

9.1 拉普拉斯变换117

9.2 拉普拉斯变换的基本性质118

9.3 拉普拉斯变换的反演121

9.4 普遍反演公式124

9.5 利用拉普拉斯变换计算级数和126

习题127

10 δ函数129

10.1 δ函数129

10.2 利用δ函数计算定积分133

10.3 常微分方程初值问题的格林函数134

10.4 常微分方程边值问题的格林函数138

10.5 求解常微分方程的格林函数方法140

习题144

11 Mathematica中的复变函数146

11.1 Mathematica中的数及其运算146

11.2 变量和函数147

11.3 极限和微积分计算149

11.4 幂级数张开与求和151

11.5 求解微分方程153

11.6 拉普拉斯变换和傅里叶变换154

11.7 δ函数154

11.8 Mathematica作图155

第二部分 数学物理方程159

12 数学物理方程和定解条件159

12.1 弦的横振动方程159

12.2 杆的纵振动方程161

12.3 热传导方程162

12.4 稳定问题164

12.5 边界条件与初始条件165

12.6 内部界面上的连接条件167

12.7 定解问题的适定性168

习题170

13 线性偏微分方程的通解171

13.1 线性偏微分方程解的叠加性171

13.2 常系数线性齐次偏微分方程的通解172

13.3 常系数线性非齐次偏微分方程的通解174

13.4 特殊的变系数线性齐次偏微分方程177

13.5 波动方程的行波解177

13.6 波的耗散和色散179

13.7 热传导方程的定性讨论181

13.8 拉普拉斯方程的定性讨论183

习题184

14 分离变量法185

14.1 两端固定弦的自由振动185

14.2 分离变量法的物理诠释190

14.3 矩形区域内的稳定问题192

14.4 多于两个自变量的定解问题194

14.5 两端固定弦的受迫振动196

14.6 非齐次边界条件的齐次化202

习题207

15 正交曲面坐标系209

15.1 正交曲面坐标系209

15.2 正交曲面坐标系中的拉普拉斯算符210

15.3 拉普拉斯算符的平移、转动和反射不变性213

15.4 圆形区域214

15.5 亥姆霍兹方程在柱坐标系下的分离变量219

15.6 亥姆霍兹方程在球坐标系下的分离变量220

15.7 矢量波动方程和矢量亥姆霍兹方程221

习题224

16 球函数225

16.1 勒让德方程的解225

16.2 勒让德多项式227

16.3 勒让德多项式的微分表示229

16.4 勒让德多项式的正交完备性231

16.5 勒让德多项式的生成函数233

16.6 勒让德多项式的递推关系234

16.7 勒让德多项式应用举例235

16.8 连带勒让德函数239

16.9 球面调和函数242

16.10 连带勒让德函数的加法公式244

16.11 超几何函数248

习题250

17 柱函数252

17.1 贝塞耳函数和诺伊曼函数252

17.2 贝塞耳函数的递推关系255

17.3 贝塞耳函数的渐近展开256

17.4 整数阶贝塞耳函数的生成函数和积分表示257

17.5 贝塞耳方程的本征值问题259

17.6 汉克尔函数264

17.7 虚宗量贝塞耳函数264

17.8 半奇数阶贝塞耳函数267

17.9 球贝塞耳函数268

17.10 合流超几何函数270

附录 涉及贝塞耳函数的常微分方程272

习题274

18 分离变量法总结276

18.1 内积空间276

18.2 函数空间278

18.3 自伴算符的本征值问题281

18.4 斯图姆-刘维尔型方程的本征值问题284

18.5 斯图姆-刘维尔型方程本征值问题的简并现象287

18.6 从斯图姆-刘维尔型方程的本征值问题看分离变量法288

习题291

19 积分变换的应用293

19.1 拉普拉斯变换293

19.2 傅里叶变换296

19.3 半无界空间的情形299

19.4 关于积分变换的一般讨论300

19.5 小波变换简介302

习题306

20 格林函数方法307

20.1 格林函数的概念307

20.2 稳定问题格林函数的一般性质309

20.3 三维无界空间亥姆霍兹方程的格林函数311

20.4 圆内泊松方程第一边值问题的格林函数315

20.5 波动方程的格林函数320

20.6 热传导方程的格林函数324

习题326

21 变分法初步327

21.1 泛函的概念327

21.2 泛函的极值328

21.3 泛函的条件极值332

21.4 微分方程定解问题和本征值问题的变分形式334

21.5 变边值问题336

21.6 瑞利-里兹方法338

习题341

22 数学物理方程综述342

22.1 二阶线性偏微分方程的分类342

22.2 线性偏微分方程解法述评345

22.3 非线性偏微分方程问题347

22.4 结束语351

习题351

参考书目353

外国人名译名中英对照表354

习题答案355