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第一章无穷级数及其应用1

1.1 应用数学的范围1

1.2 无穷级数2

1.3 关于无穷级数的定义及基本概念2

1.4 常量级数的收敛及发散5

1.5 交错级数及正负项杂处的级数11

1.6 级数的代数运算14

1.7 函数级数的连续及一致连续，收敛及一致收敛16

1.8 幂级数及其性质28

1.9 泰勒级数32

1.10 有关幂级数运算的补充定理36

1.11 幂级数的简单应用39

1.12 利用幂级数所得的近似公式48

1.13 在材料力学方面的应用举例49

习题一55

第二章傅里叶级数及傅里叶积分58

2.1 正交函数集58

2.2 傅里叶级数63

2.3 最小二乘近似函数79

2.4 用傅里叶级数展开求解横向载荷梁问题82

2.5 用傅里叶级数展开解弹性基础上梁的弯曲问题及级数收敛性的改进87

2.6 用傅里叶积分求解无限大跨度梁89

习题二92

第三章复数及基本超越函数95

3.1 复数及复数的运算95

3.2 复数的乘方及开方98

3.3 指数函数及三角函数100

3.4 双曲函数101

3.5 对数函数102

3.6 反圆函数和反双曲函数103

3.7 自重载荷下的悬索105

3.8 圆函数及双曲函数的有用公式110

习题三112

第四章误差理论及简单数值计算115

4.1 绝对误差和最大绝对误差115

4.2 相对误差和最大相对误差117

4.3 有效位数119

4.4 工程技术运算的误差问题122

4.5 和与差的最大绝对误差与最大相对误差123

4.6 乘积和商的最大相对误差126

4.7 幂的误差129

4.8 函数的最大绝对误差和最大相对误差131

4.9 复杂计算的误差问题134

4.10 算术平均数是最好的平均数136

4.11 权的概念及带权平均值的误差140

习题四143

第五章物理量及量纲分析145

5.1 引论145

5.2 物理量的量纲146

5.3 物理量纲的应用154

5.4 量纲分析的普遍理论——π 定理161

5.5 量纲分析在粘滞液体一面流动一面传热的定常状态中的应用169

5.6 进一步改进量纲分析的新建议177

习题五186

6.1 相似论的概念，相似论第一定律189

第六章相似论189

6.2 相似模数，相似论第二定律及第三定律196

6.3 相似论在流体力学中的应用203

6.4 相似论和水力模型试验208

6.5 相似变量问题209

6.6 相似论在材料力学问题中的应用213

6.7 结构试验的模型规律226

习题六239

第七章实验数据的整理245

7.1 引论245

7.2 实验数据的获得过程中应注意之点245

7.3 实验数据的性质及作图表示法247

7.4 实验数据的整理及数学方程的表示法256

7.5 根据曲线的性质选配合适的简单经验公式265

7.6 根据曲线选配经验公式的验证方法271

7.7 待定常数的决定法之一·直线图解法或定点法277

7.8 待定常数的决定法之二·平均法289

7.9 求得经验公式的逐步渐近法291

习题七293

第八章最小二乘法298

8.1 最小二乘法298

8.2 非线性相关问题的最小二乘法302

8.3 正则方程的解法305

8.4 有权数据的最小二乘法307

8.5 由性质不同的实验所测定的同一数量的平均值309

习题八314

9.1 插值法的应用范围317

第九章插值法317

9.2 差分法及多项式的差分318

9.3 葛利格莱-牛顿插值法322

9.4 比例插值法325

9.5 均差法和牛顿插值公式326

9.6 拉格朗日(Lagrange)插值公式333

9.7 牛顿-高斯(Newton-Gauss)后退插值公式335

9.8 牛顿-司蒂尔林(Newton-Stirling)插值公式338

9.9 牛顿-贝塞尔(Newton-Bessel)插值公式339

9.10 插值公式的误差340

习题九344

第十章代数方程的求根法349

10.1 代数方程的解法349

10.2 方程的根的估值法350

10.3 重演求根法的基本原理353

10.4 重演法之一·比例求根法359

10.5 重演法之二·牛顿法361

10.6 隔离法之一·贾宪增乘开方法365

10.7 隔离法之二·谈德林(Dandelin)，罗巴契夫斯基(Лобачевский)，葛拉叶飞(Graeffe)方根法372

10.8 代数多项式的复根·赵访熊-林士锷法376

10.9 代数多项式的复根·方根法382

10.10 无穷级数求根法386

10.11 方程求根的定性理论，三次方程或四次方程的根全部为负值的条件391

习题十396

第十一章多元一次联立方程的解法399

11.1 引论399

11.2 行列式的基本运算规则400

11.3 行列式展开法之四409

11.4 多元一次联立方程直接法之一·行列式解法412

11.5 多元一次联立方程直接法之二·统除消去法419

11.6 多元一次联立方程直接法之三·高斯消去法421

11.7 多元一次联立方程直接法之四·标兵消去法423

11.8 多元一次联立方程直接法之五·赵访熊列表计算法424

11.9 难解的联立方程430

11.10 塔形一次联立方程的解法433

11.11 多元一次联立方程间接解法之一·重演法434

11.12 多元一次联立方程间接解法之二·松弛法443

11.13 高次联立方程的重演解法448

习题十一449

第十二章矩阵及其应用(一)452

12.1 矩阵及其主要符号记法452

12.2 矩阵的代数运算456

12.3 矩阵乘法的计算461

12.4 矩阵方程468

12.5 逆矩阵及线性联立方程的求解471

12.6 逆矩阵的计算法之一·克劳脱法475

12.7 逆矩阵的计算法之二·三角矩阵法486

12.8 矩阵在结构计算上的应用·影响系数矩阵496

12.9 影响系数及影响函数的计算例题·悬臂梁的弯曲502

12.10 几个常用的数值积分公式及其权值矩阵509

12.11 不均匀悬臂梁的影响函数矩阵517

习题十二521

第十三章矩阵及其应用(二)523

13.1 本征方程、本征值及本征矢量523

13.2 本征行列式的展开之一·主子行列式法539

13.3 本征行列式的展开之二·克雷洛夫(Крылов，А.Н.)有限次重演法544

13.4 本征行列式的展开之三·但尼尔夫斯基(Данилевский，А.)法551

13.5 重演法求本征值及本征矢量561

13.6 重演法求解多元一次联立方程的证明575

习题十三580

第十四章概率论及其应用581

14.1 概率论的基本概念581

14.2 独立事件584

14.3 互相排斥的事件585

14.4 彩值587

14.5 重复而独立的尝试588

14.6 二项式分布曲线589

14.7 偶发事件的分布律·泊松(Poisson)分布曲线592

14.8 大量事件的正则分布律·高斯(Gauss)分布曲线597

14.9 与正则分布律有关的几个名词599

14.10 实验数据的统计处理603

14.11 司蒂尔林渐近式的证明608

习题十四616

第十五章物理方程的建立619

15.1 工程数学的基本问题619

15.2 物理方程建立的过程621

15.3 建立物理方程的几种常用方法630

15.4 几种常见的物理方程636

15.5 物理方程的条件639

习题十五640

第十六章坐标变换和张量分析644

16.1 坐标变换644

16.2 平面面积元素的坐标变换648

16.3 体积元素的坐标变换651

16.4 曲线正交坐标的变换654

16.5 空间曲面上的积分658

16.6 用空间正交曲线坐标表示的曲面积分660

16.7 雅可比行列式的关系662

16.8 雅可比行列式的另一形式665

16.9 曲线坐标表示的弧元素666

16.10 用张量符号表示的曲线坐标弧元素669

16.11 纯量、逆变矢量、协变矢量674

16.12 高阶张量676

16.13 张量的代数运算678

16.14 尺度张量和它的共轭张量679

16.15 卡氏张量681

16.16 矢量的协变微分683

16.17 张量的协变微分689

16.18 黎曼-克立斯托费尔张量(Riemann-Christoffeltensor)691

16.19 置换张量及矢量积695

16.20 正交曲线坐标系697

16.21 几种常用坐标系的性质702

习题十六711

第十七章高斯定理、斯托克斯定理及其应用716

17.1 高斯定理716

17.2 格林定理721

17.3 斯托克斯定理722

17.4 通量与环流，散度与旋度727

17.5 泊松方程和拉普拉斯方程解的积分表示式731

17.6 解拉普拉斯方程的格林函数法735

习题十七743

18.1 复变量746

第十八章复变函数746

18.2 复变函数的连续性751

18.3 复变函数的导数756

18.4 保角变换760

18.5 几种初等函数的保角变换763

18.6 保角变换在实际问题中的应用777

18.7 双线性变换785

18.8 保角变换的重复使用792

习题十八799

第十九章解析延拓及多角形的保角变换801

19.1 复变函数的积分及哥西定理801

19.2 解析延拓及黎曼-许伐兹对称定理805

19.3 许伐兹-克立斯托费尔多角形变换813

19.4 开口多角形的保角变换825

19.5 多角形外部的保角变换843

19.6 多角形内部变到单位圆内部的变换849

19.7 包含圆弧为边界的区域和角点圆化的多角形变换852

习题十九861

第二十章三角级数之和867

20.1 傅里叶级数和三角级数867

20.2 Abel 求和法，广义函数及其展开式875

20.3 级数的积分、微分、加减和周期变换886

20.4 几种三角级数之和897

20.5 三角级数的收敛问题906

20.6 一些有实用价值的求和问题917

20.7 通过微分方程求三角级数之和919

20.8 用傅氏变换将三角级数求和933

习题二十942