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第一篇微积分1

第一章空间解析几何1

第一节空间向量及其线性运算1

一、空间直角坐标系1

二、空间向量及其表示2

三、向量的加法与数乘3

四、向量的坐标表示6

五、二阶和三阶行列式8

习题1-111

第二节空间向量的乘积12

一、两个向量的数量积12

二、两个向量的向量积14

三、向量的混合积16

习题1-218

第三节平面与直线19

一、平面方程19

二、直线方程21

习题1-323

第四节直线、平面的位置关系24

一、两个平面的夹角24

二、两直线间的夹角25

三、直线与平面间的夹角27

四、距离28

习题1-430

第五节曲面与曲线31

一、曲面方程与曲线方程31

二、柱面 旋转曲面33

三、空间曲线在坐标面上的投影35

四、二次曲面36

习题1-540

第二章函数 极限 连续42

第一节映射与函数42

一、映射42

二、函数43

三、一元函数的几种特性45

四、函数类别47

习题2-153

第二节函数的极限55

一、函数极限的定义55

二、函数极限的性质57

三、函数极限的分析定义58

习题2-261

第三节无穷小与无穷大61

一、无穷小量61

二、无穷大量62

习题2-363

第四节极限的运算法则63

一、极限的四则运算63

二、复合函数的极限66

习题2-467

第五节两个重要极限68

一、极限68

二、极限69

习题2-571

第六节无穷小的比较71

习题2-673

第七节函数的连续性73

一、函数的连续74

二、闭区间上连续函数的性质76

三、初等函数的连续性77

习题2-778

第三章导数与微分80

第一节导数概念与基本初等函数的导数80

一、导数概念80

二、基本初等函数的导数82

三、函数的可导与连续性的关系85

四、导数的几何意义85

习题3-186

第二节初等函数的导数87

一、函数的和、差、积、商的导数87

二、复合函数的导数89

三、函数的相关变化率92

习题3-292

第三节微分及其在近似计算中的应用94

一、微分概念94

二、微分的运算法则96

三、微分在近似计算中的应用97

习题3-398

第四节几类特殊形式函数的求导法99

一、隐函数的导数99

二、幂指函数的导数100

三、由参数方程确定的函数的导数101

四、反函数的导数102

习题3-4103

第五节高阶导数104

习题3-5107

第四章导数的应用109

第一节中值定理109

习题4-1112

第二节罗必塔（L’Hospital）法则113

习题4-2117

第三节函数的单调性和极值118

一、函数的单调性118

二、函数的极值120

习题4-3122

第四节最大值与最小值123

习题4-4127

第五节函数图形的描绘129

一、曲线的凹凸性、拐点129

二、曲线的渐近线132

三、函数作图132

习题4-5135

第六节向量函数的导数 弧微分 曲率136

一、向量函数的导数136

二、弧微分138

三、曲率140

四、曲率圆与曲率半径143

习题4-6144

第七节方程的近似解145

一、弦位法146

二、切线法（牛顿（Newton）法）147

习题4-7149

第五章多元函数微分法及其应用150

第一节偏导数150

一、二元函数的极限与连续150

二、偏导数的概念152

三、偏导数的几何意义154

四、高阶偏导数154

习题5-1156

第二节全微分158

一、全微分概念158

二、全微分在近似计算中的应用160

习题5-2162

第三节多元函数的求导法则163

一、多元复合函数求导法则163

二、隐函数求导法167

习题5-3169

第四节偏导数在几何上的应用170

一、空间曲线的切线和法平面170

二、曲面的切平面和法线172

习题5-4175

第五节极值问题176

一、多元函数的极值176

二、最大值与最小值问题178

习题5-5181

第六节最小二乘法182

习题5-6185

第七节方向导数 梯度186

一、方向导数186

二、梯度187

习题5-7189

第六章不定积分190

第一节不定积分的概念190

一、原函数概念190

二、不定积分的概念、性质191

三、基本积分公式和运算法则192

习题6-1194

第二节换元积分法194

一、第一类换元积分法（凑微分法）194

二、第二类换元积分法200

习题6-2203

第三节分部积分法205

习题6-3209

第四节有理函数与三角函数有理式的积分210

一、有理函数的积分210

二、三角函数有理式的积分举例215

习题6-4217

第七章定积分及其应用219

第一节定积分概念与性质219

一、几个实际问题219

二、定积分概念221

三、定积分的性质223

习题7-1227

第二节定积分的计算227

一、牛顿-莱布尼兹（Leibniz）公式227

二、定积分的换元积分法230

三、定积分的分部积分法233

习题7-2235

第三节广义积分236

一、无穷区间上的广义积分236

二、无界函数的广义积分238

习题7-3240

第四节定积分的近似计算241

一、矩形法241

二、梯形法242

三、抛物线法（辛普生（Simpson）法）242

习题7-4244

第五节定积分的应用245

一、几何应用246

习题7-5（1）253

二、物理应用254

习题7-5（2）256

第八章重积分及其应用258

第一节二重积分的定义与性质258

习题8-1260

第二节二重积分的计算260

一、二重积分在直角坐标系中的计算260

二、二重积分在极坐标系中的计算265

习题8-2268

第三节三重积分概念及其计算269

一、三重积分的概念269

二、三重积分的计算270

习题8-3277

第四节重积分的应用278

一、几何应用278

二、物理应用282

习题8-4286

第九章曲线积分与曲面积分288

第一节曲线积分288

一、对弧长的曲线积分的概念与性质288

二、对弧长的曲线积分的计算289

三、对坐标的曲线积分的概念与性质292

四、对坐标的曲线积分的计算294

习题9-1298

第二节格林公式及其应用299

一、格林（Green）公式299

二、平面上曲线积分与路径无关的条件302

习题9-2305

第三节曲面积分306

一、对面积的曲面积分306

二、对面积的曲面积分的计算307

三、对坐标的曲面积分311

四、对坐标的曲面积分的计算315

习题9-3317

第四节高斯公式 通量与散度318

一、高斯（Gauss）公式318

二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件322

三、通量与散度323

习题9-4325

第五节斯托克斯公式 环流量与旋度326

一、斯托克斯（Stocks）公式326

二、环流量与旋度329

习题9-5331

第十章无穷级数332

第一节无穷级数的概念及基本性质332

一、无穷级数的概念332

二、无穷级数的基本性质334

习题10-1337

第二节正项级数敛散性的判别法338

一、比较判别法338

二、比值判别法342

三、根值判别法343

四、积分判别法344

习题10-2344

第三节任意项级数346

一、交错级数346

二、绝对收敛与条件收敛347

习题10-3349

第四节幂级数350

一、幂级数的收敛半径与收敛域351

二、幂级数的运算355

习题10-4358

第五节函数的幂级数展开式358

一、泰勒（Taylor）公式359

二、泰勒级数361

三、把函数展开为幂级数364

四、近似计算举例370

习题10-5373

第六节函数的三角级数展开373

一、三角函数形式的富里哀级数373

二、把函数展开成三角级数376

习题10-6383

第十一章微分方程384

第一节微分方程的基本概念384

习题11-1387

第二节一阶微分方程387

一、可分离变量的方程387

二、齐次微分方程389

三、一阶线性方程391

四、伯努利（Bernoulli）方程395

习题11-2396

第三节高阶微分方程的几个特殊类型398

一、y（m）＝f（x）型的微分方程399

二、y″＝f （x，y′）型的微分方程400

三、y″＝ f（y，y′）型的微分方程402

习题11-3403

第四节二阶线性微分方程解的结构403

习题11-4406

第五节二阶常系数线性微分方程407

一、二阶常系数线性齐次方程407

二、二阶常系数线性非齐次方程410

习题11-5420

第二篇矩阵代数 线性规划初步421

第一章矩阵代数421

第一节矩阵及其运算422

一、矩阵的概念422

二、矩阵的加法及与数量的乘法423

三、矩阵的乘法424

四、矩阵的转置426

五、几种特殊形式的矩阵428

六、可逆矩阵429

习题1-1431

第二节n阶行列式432

一、n阶行列式的定义432

二、n阶行列式的计算435

习题1-2440

第三节行列式的应用442

一、求可逆方阵的逆矩阵442

二、克莱姆（Cramer）法则445

习题1-3449

第四节矩阵的秩与初等变换451

一、矩阵的秩451

二、矩阵的初等变换453

三、用初等变换求逆矩阵456

四、线性方程组有解的判别定理460

习题1-4465

第五节n维向量467

一、n维向量及其运算468

二、向量的线性相关性470

三、最大线性无关组474

习题1-5476

第六节线性方程组解的结构477

一、齐次线性方程组解的结构478

二、非齐次线性方程组解的结构482

习题1-6485

第七节矩阵的特征值与特征向量486

一、线性变换及其在一组基下的矩阵486

二、矩阵的特征值与特征向量489

三、化方阵为对角矩阵的条件494

习题1-7499

第八节二次型及其标准形501

一、二次型及其矩阵表示501

二、二次型的标准503

三、正交向量组504

四、用正交变换化实二次型为标准形507

五、正定二次型514

习题1-8517

第二章线性规划初步519

第一节线性规划问题及其数学模型519

一、线性规划问题的数学模型519

二、线性规划问题的标准形式523

三、线性规划问题解的几个基本概念526

习题2-1526

第二节两个变量的线性规划问题的图解法528

一、二元一次不等式的几何意义528

二、两个变量的线性规划问题的可行域529

三、目标函数的等值线与最优解530

习题2-2533

第三节单纯形法534

一、单纯形法举例534

二、第一个基础可行解的确定537

三、单纯形表539

习题2-3545

第四节人造基和两阶段法546

习题2-4552

第一篇习题答案554

第二篇习题答案577