《概率统计中的反例》求取 ⇩

第一章　事件与概率符号1

1．用事件的运算关系表示事件的方法不一定唯一1

8．若ξ＝（ξ1，ξ2）与η＝（η1，η2）独立，ξ1与ξ2

2．若A－B＝C，不一定有A＝C∪B2

3．若A＝B∪C，不一定有A－B＝C3

4．A∪（B－C）＝（A∪B）－C不一定成立3

5．（A∪B）－B＝A不一定成立4

6．A－（B－C）＝（A＝B）∪C不一定成立5

7．？Ak－？Bk＝？（Ak－Bk）不一定成立5

8．若A，B，C满足ABC＝φ，它们不一定两两互不相容5

9．若A，B互不相容，它们不一定相互对立6

10．若AB＝φ且BC＝φ，不一定CA＝φ6

11．对一个随机试验，样本空间的取法不一定唯7

12．样本点不一定是事件8

13．样本空间不一定是离散的9

14．有限样本空间中的样本点不一定等概9

15．同一个随机试验，所属的概型不一定唯一10

16．不同的抽样方式其概率不一定不相同11

17．概率为零的事件不一定是不可能事件13

18．概率为1的事件不一定是必然事件14

19．若P（A）＝P（B），不一定A＝B14

20．若P（A∪B）＝P（A）＋P（B），A、B不一定互不相容15

21．若P（AB）＝0，不一定A，B互不相容16

22．若P（A）＋P（B）＝1，A、B不一定互为对立事件16

23．若P（A）≤P（B），不一定有A？B17

24．对任意的事件A、B，不一定有P（A－B）＝P（A）－P（B）18

25．对任意的事件A、B，不一定有P（A∪B）＝P（A）＋P（B）18

26．对“等可能性”的理解不同，得的概率不一定相同19

27．当ABC＝φ时，不一定有P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）21

第二章　条件概率与事件的独立性符号23

1．P（A｜B）与P（A）不一定有大小关系23

2．P（AB）与P（A）P（B）不一定有大小关系24

3．若P（AB｜C）＝P（A｜C）P（B｜C），事件A，B不一定独立24

4．若A，B独立，不一定有P（AB｜C）＝P（A｜C）·P（B｜C）26

5．若P（A｜B）＝0，不一定A＝φ27

6．若P（A｜B）＝1，不一定A＝Ω28

7．若P（A｜C）＝P（B｜C），不一定A＝B29

8．若AB≠φ，P（A∪B｜C）＝P（A｜C）＋P（B｜C）不一定成立30

9．若P（AB｜C）＝0，A、B不一定互不相容32

10．若P（A｜C）＋P（B｜C）＝1，A、B不一定互为对立事件32

11．若P（A｜C）≤P（B｜C），不一定有A？B32

12．P（A｜C）＋P（A｜？）＝1不一定成立33

13．若P（AB）＝P（A）P（B），不一定有P（B｜A）＝P（B）34

14．两个事件在不同的样本空间中独立性不一定相同34

15．凭直觉不一定能判定事件的独立性35

16．P（A｜C）＋P（A｜C）＝1并非恒不成立36

17．若A，B不相容，不一定不独立37

18．A与其自身A不一定不独立38

19．P（ABC）＝P（A）P（A｜B）P（AB｜C）不一定成立38

20．A与B独立，B与C独立，C与A不一定独立39

21．A与B独立，C？A，D？B，C与D不一定独立40

22．A，B，C两两独立不一定相互独立41

23．若P（ABC）＝P（A）P（B）P（C），A、B、C不一定两两独立42

24．若A分别与B1，B2独立，B1B2≠φ，A与B1∪B2不一定独立44

25．若A，B，C两两独立，AB与C不一定独立45

26．小概率事件在多次重复试验时不一定不会发生47

27．按混合抽取与按全概率公式计算的结果不一定相同47

28．若P（AB）≥P（A）P（B）且P（BC）≥P（B）·P（C），不一定P（AC）≥P（A）P（C）49

29．若P（AB）≤P（A）P（B）且P（BC）≤P（B）·P（C），不一定P（AC）≤P（A）P（C）50

30．A，B，C两两正相依，总体不一定正相依51

31．A，B，C两两负相依，总体不一定负相依52

1．不同定义的分布函数，其性质不一定相同55

第三章　随机变量及其分布符号55

2．单调不减的函数不一定是分布函数58

3．分布函数不一定是离散型的或连续型的59

4．非离散型又非连续型的分布函数不一定为混合型61

5．若某随机变量ξ的分布函数为连续函数，ξ不一定是连续型随机变量64

6．几个分布函数的线性组合不一定是分布函数65

7．若k1＋k2＝1，分布函数F1（x）、F2（x）的线性组合k1F1（x）＋k2F2（x）不一定是分布函数66

8．分布函数的线性组合的分布类型不一定与原来的分布类型相同67

9．连续型随机变量的密度函数不一定是连续函数68

10．对指定的（Ω，？，P）和F（x），不一定有定义在（Ω，？，P）上以F（x）为其分布函数的随机变量ξ69

11．离散型分布的最可能值不一定唯一70

12．不对等的随机变量其分布函数不一定不同71

13．若ξ，η同分布，不一定ξ－η＝072

14．若ξ，η服从同一分布，ξ＋η与2ξ的分布不一定相同73

15．三个给定的随机变量不一定能定义在同一个概率空间上74

16．具有无记忆性的分布不是唯一的75

17．满足二维分布前三条性质的F（x，y）不一定满足相容性76

18．边际分布相同时，联合分布不一定相同78

19．边际分布与联合分布的分布类型不一定相同80

20．在不同的区域内，边际分布的类型不一定相同81

21．若ξ，η都服从一维正态分布，（ξ，η）不一定服从二维正态分布82

22．有相同的边际分布的联合分布的个数不一定有限84

23．随机变量（ξ，η）不一定是离散型或连续型的86

24．不对等的多维随机变量其联合分布函数不一定不同86

25．n维随机变量（ξ1，…，ξn）的分量按从小到大重新排列后其分布不一定与原分布相同87

26．若（ξ，η）的联合分布函数F（x，y）在（x0，y0）连续，ξ和η的边际分布函数Fξ（x）和Fη（y）在点x0和y0不一定连续89

27．连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量90

28．若连续型随机变量ξ的函数η＝f（ξ）也是连续型随机变量，函数y＝f（x）不一定严格单调92

29．随机变量ξ与其函数η＝f（ξ）的分布类型不一定相同93

30．由一个一维密度函数不一定不能构造出一个二维密度函数95

31．若ξ与η独立且同分布，其函数ζ＝f（ξ，η）不一定与它们同分布96

32．随机变量ξ与η的不同函数的分布不一定不相同98

33．若ξ1，ξ2的联合分布函数F（x1，x2）在一切点上连续，其函数η1＝ξ1＋ξ2，η2＝ξ1－ξ的联合分布函数G（y1，y2）不一定在一切点上连续100

34．随机变量的函数的分布不一定与原来的参数有关100

35．条件概率分布与无条件概率分布的类型不一定相同101

36．若ξ与η同分布，ξ－η不一定是对称的随机变量103

37．若ξ，η的联合分布关于自变量x，y不对称，ξ－η不一定不是对称的随机变量105

38．对称的随机变量并非都是对称化过程的结果106

第四章　随机变量的独立性与相关性符号107

1．ξ1，…，ξn两两独立不一定相互独立107

2．ξ，η不相互独立，其函数f（ξ），g（ξ）不一定不相互独立110

3．若ξ，η的分布相同，它们不一定独立112

4．若（ξ，η）的联合密度函数p（x，y）可分解为g（x）h（y），ξ与η不一定相互独立114

5．若ξ1，ξ2独立，其函数η1＝f1（ξ1，ξ2）与η2＝f2（ξ1，ξ2）不一定独立115

6．若ξ1，ξ2独立，其函数η1＝f1（ξ1，ξ2）与η2＝f2（ξ1，ξ2）不一定不独立116

7．ξ与ζ有函数关系不一定不独立117

或η1与η2不一定独立118

9．若ξ与η1独立，ξ与η2也独立，ξ与随机向量（η1，η2）不一定独立119

10．若ξ与不相关，ξ与η不一定独立121

11．ξ与它的函数不一定相关123

12．不知道（ξ，η）的联合分布，不一定不能确定ξ，η的相关性和独立性125

13．若ξ1与ξ2不独立，其函数η1＝f1（ξ1，ξ2）与η2＝f2（ξ1，ξ2）不一定不独立126

第五章　随机变量的数学特征符号128

1．随机变量不一定存在数学期望128

2．随机变量不一定存在方差130

3．数学期望存在不一定方差存在131

4．Eξr存在不一定Eξr＋1存在132

5．若Eξ不存在，Eξα（α＜1）不一定不存在133

6．若Dξ＝0，ξ不一定恒取常值c133

7．若E（ξη）＝EξEη，ξ与η不一定独立134

8．若D（ξ＋η）＝Dξ＋Dη，ξ与η不一定独立135

9．Eξ2与（Eξ）2不一定不相等136

10．Eξ及Dξ不能确定ξ的分布136

11．由各阶矩不能确定ξ的分布137

12．E〔g（ξ）〕与g〔Eξ〕不一定相等138

13．若E（η｜ξ）＝E（η），ξ与η不一定独立139

14．若ξ和η不相关，不一定E（η｜ξ）＝Eη140

15．ξ、η的不同函数的数学期望或方差不一定不同141

17．若D（ξ1＋ξ2＋ξ3）＝Dξ1＋Dξ2＋Dξ3，ξ1、ξ2、ξ3不一定两两不相关142

16．Eg（ξ）＝E｛E［g（ξ）｜η］｝不一定成立142

18．若ξ1，ξ2，ξ3两两不相关，不一定有E（ξ1ξ2ξ＝Eξ1Eξ2Eξ3143

19．若E（ξ1ξ2ξ3）＝Eξ1Eξ2Eξ3，ξ1、ξ2、ξ3不一定两两不相关144

20．若D（ξ1＋ξ2＋ξ3）＝Dξ1＋Dξ2＋Dξ3，不一定有E（ξ1ξ2ξ3）＝Eξ1Eξ2Eξ3145

21．若E（ξ1ξ2ξ3）＝Eξ1Eξ2Eξ3，不一定有D（ξ1＋ξ2＋ξ3）＝Dξ1＋Dξ2＋Dξ3145

第六章　特征函数符号147

1．并非任一函数φ（t）都能作为某个随机变量ξ的特征函数147

2．在有限区间内特征函数的值不足以唯一决定分布函数149

3．若φξ＋η（t）＝φξ（t）φη（t），ξ与η不一定独立151

4．若ξ的特征函数在t＝0处有导数φ？（0），Eξ不一定存在154

5．特征函数的极限不一定是特征函数156

6．ξ与η＝ξ＋b的k阶半不变量并非总相等157

7．ξ的矩母函数不一定存在158

1．分布函数的极限不一定是分布函数160

第七章　极限定理符号160

2．分布函数列不一定弱收敛于分布函数162

3．若ξn？ξ，不一定对一切x有Fn（x）→F（x）163

4．若Fn（x）？F（x），不一定有ξn？ξn→∞164

5．弱收敛的极限函数不一定唯一165

6．依分布收敛不一定依概率收敛166

7．依概率收敛不一定几乎处处收敛168

8．依概率收敛的序列不一定收敛169

9．依概率收敛不一定r阶收敛170

10．几乎处处收敛不一定r阶收敛172

11．r阶收敛不一定几乎处处收敛172

12．若r＞s，s阶收敛不一定r阶收敛173

13．依概率收敛其数学期望不一定收敛175

14．依概率收敛其矩不一定收敛175

15．若｛ξk｝依概率收敛于ξ且Eξn收敛于Eξ，不一定E｜ξn－ξ｜收敛于0176

16．若nkP（｜ξ｜＞n）→0，不一定有E｜ξ｜k＜∞177

17．矩母函数的极限不一定是一个矩母函数178

18．若｛ξn｝依分布收敛于ξ，其矩母函数Mn（t）不一定收敛于ξ的矩母函数M（t）179

19．切贝谢夫不等式不一定不能取等号180

20．相互独立的随机变量序列不一定服从切贝谢夫大数定律181

21．独立同分布的随机变量序列不一定满足辛钦大数定律的条件182

22．若随机变量序列服从辛钦大数定律，它不一定服从马尔科夫大数定律182

23．马尔科夫条件成立时，切贝谢夫大数定律不一定成立183

24．马尔科夫条件并非大数定律成立的必要条件184

25．不满足马尔科夫条件不一定不服从强大数定律185

26．若ξ1，ξ2，…相互独立且Dξn＝σ？（n≥1），｛ξn｝不一定服从强大数定律186

27．波雷尔-坎特拉引理（1）的逆命题不成立187

28．若ξ1，ξ2，…不满足两两不相关，｛ξk｝不一定不服从大数定律188

29．若ξ1，ξ2，…不服从大数定律，其函数序列｛ηk｝不一定不服从大数定律189

30．若｛ξk｝服从大数定律，它不一定服从强大数定律190

31．独立随机变量序列｛ξk｝若具有有限的方差，它不一定服从中心极限定理191

32．若｛ξk｝不满足林德伯格条件，它不一定不服从中心极限定理193

33．若｛ξk｝不满足费勒条件，它不一定不服从中心极限定理194

34．若｛ξk｝服从大数定律，它不一定服从中心极限定理196

35．若｛ξk｝服从中心极限定理，它不一定服从大数定律197

36．｛ξk｝不一定服从中心极限定理或大数定律中的一个199

第八章　数理统计的基本概念符号200

1．子样的函数不一定是统计量200

2．统计量的分布不一定不依赖于未知参数201

3．子样均值？的分布与母体ξ的分布不一定不同201

4．？的分布不一定随着子样容量n的增大而更加集中203

5．？的分布与母体ξ的分布不一定属于同一类型的分布203

6．由同一个子样所构成的两个统计量不一定不独立205

7．次序统计量之间不一定相互独立206

8．次序统计量的函数不一定不独立207

9．中位数不一定唯一210

10．若Eξ不存在，ξ的中位数不一定不存在211

11．次序统计量的分布类型不一定与母体ξ不同212

12．统计量的分布不一定是渐近正态分布的212

13．统计量不一定是充分统计量214

14．参数的充分统计量不一定唯一215

第九章　参数估计符号217

1．参数的无偏估计不一定唯一217

2．参数不一定对任何子样都存在无偏估计219

3．若参数θ的无偏估计是？，其函数f（θ）的无偏估计（假定存在）不一定是f（？）220

4．矩估计量不一定是无偏估计221

5．极大似然估计不一定是无偏估计222

6．一个参数的极大似然估计量与矩估计量不一定相同223

7．极大似然估计不一定唯一225

8．似然方程的解不一定是极大似然估计226

9．矩法估计不具有不变性228

10．无偏估计不一定均方误差最小229

11．同一参数的不同的无偏估计量，其方差不一定相同230

12．参数的一致估计不一定是无偏估计231

13．参数的一致估计量不一定唯一232

14．参数θ的几个无偏估计之间不一定有线性表出关系234

15．无偏估计不一定不能达到罗-克拉美不等式的方差界235

16．若？不存在，无偏估计的方差不一定不小于罗-克拉美的方差界237

17．无偏估计不一定是有效估计239

18．极大似然估计不一定是有效估计240

19．充分统计量的函数不一定是充分统计量241

20．充分统计量不一定是有效估计243

21．无偏估计不一定总是合理的243

1．并非每一个假设都是统计假设245

第十章　假设检验符号245

2．假设不一定是简单假设246

3．α＋β不一定等于1246

4．α＋β不一定不能等于1248

5．α小时，β不一定大249

6．不否定原假设H0，不一定H0是正确的249

7．所给显著性水平α不同，检验的结果不一定相同250

8．检验H0时，对于相同的统计量及相同的显著性水平α，其拒绝域不一定唯一251

9．拒绝域不一定是对称的253

10．若母体ξ不服从正态分布时，检验均值不一定不能用U-检验253

11．对于同一置信度，置信区间不唯一255

12．对同一假设，检验的方法不一定唯一256

13．不同的检验方式所得的结论不一定相同257

参考文献259