《概率论与数理统计中的反例》求取 ⇩

第一章 随机试验、随机事件与概率1

1.1. 非随机试验1

1.2. 非古典型随机试验2

1.3. 非几何型随机试验3

1.4. 不相互独立的随机试验3

1.5. 一个随机试验的基本事件可以有不同取法5

1.6. 基本事件未必都是事件6

1.7. 概率不是频率的极限7

1.8. 贝特朗奇论8

1.9. 有限可加但不可列可加的集函数10

1.10. 概率为1的事件未必是必然事件，概率为0的事件未必是不可能事件11

1.11. 概率为1的事件的交事件的概率未必是112

1.12. 可交换事件但不是尾事件12

第二章 随机变量及其分布15

2.1. 同一概率空间上的不同随机变量可以有相同的分布函数15

2.2. ξ的分布函数连续但不是连续型随机变量19

2.3. 奇异型随机变量的函数不一定是奇异型随机变量21

2.4. 连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量24

2.6. 非离散型、非连续型、非奇异型随机变量26

2.5. 分布函数连续的随机变量的函数可以有任意分布函数26

2.7. 概率分布函数序列的极限函数未必是概率分布函数27

2.8. ξn的分布函数趋向于ξ的分布函数，而ξa的分布不趋向于ξ的分布28

2.9. f(χy)在点(xo,yo)连续，但Fry?(xo,yo)≠f(xo,yo)31

2.10. 边际分布不能唯一确定联合分布36

2.11. 求边际密度公式中的勒贝格积分不能换为黎曼积分38

2.12. 分量为连续型的二维随机变量未必是连续型的39

2.13. ξ┼η是连续型随机变量而ξ和η不全是连续型随机变量44

2.14. ξ与η都是连续型随机变量而(ξ，η)不是二维连续型随机变量46

2.15. 两个不同的二维随机变量可以有相同的联合分布函数48

2.16. ξ与η同分布而(ξ，η)与(η，ξ)不同分布49

2.17. ξ与η是正态变量而(ξ，η)不是二维正态变量51

2.18. 正态变量的和未必是正态变量53

2.19. 非正态变量的和可能是正态变量56

2.20. 独立随机变量ξ与η服从均匀分布而ξ+η不服从均匀分布57

2.21. (ξ，η)服从均匀分布而ξ与η不服从均匀分布58

2.22. 由F1？F2=F1？F3不能推出F2=F359

2.23. Fn→F而fn？f61

2.24. ξ与η同分布而ξ-η不是对称随机变量64

第三章 随机变量的数字特征68

3.1. 随机变量的各阶矩不能唯一决定其分布68

3.2. 任意阶绝对矩都不存在的随机变量70

3.3. E︱ξ┼η︱α存在而E︱ξ︱α和E︱η︱α不存在71

3.4. D(ξ+η)存在而Dξ和Dη不存在73

3.5. Fξn(χ)→Fξ(χ)而Eξnk？Eξk(k=1，2，…)74

3.6. Eξnk→Eξk(k=1,2,…)而Fξn(χ)？F(χ)76

3.7. Eξn→Eξ而E︱ξn︱？E︱ξ︱，E︱ξn︱→E︱ξ︱而Eξn？Eξ78

3.8. lim nkP(︱ξ︱〉n)=0而Eξk不存在79

3.9. ρζ?≠0，ρ？ζ≠0而ρξ？ζ=080

3.10. ρξ?=0，ρ？ζξ=0而ρξ？ζ≠081

3.11.g(χ)不是凹函数而有g(Eξ)≤Eg(ξ)82

第四章 独立性与相依性84

4.1. n个事件两两独立而不相互独立84

4.2. P(A1A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)而A1，A2，A3不相互独立85

4.3. A与B独立且B与C独立而A与C不独立86

4.4. 对有限交不封闭的事件类独立类的扩张定理不成立87

4.5. n个随机变量两两独立而不相互独立88

4.6. ξ与ζ独立且η与ζ独立而(ξ，η)与ζ不独立90

4.7. f(ξ)与g(η)独立而ξ与η不独立93

4.8. (ξ1，ξ2)与(ξ3，ξ4)相互独立而ξ1，ξ2，ξ3，ξ4不相互独立95

4.9. f(ξ1，ξ2)与g(ξ1，ξ2)相互独立的例子96

4.10. E(ξη)=EξEη而ξ与η不相互独立97

4.11. 既是相关又不独立的两个随机变量99

4.12. f(ξ)与g(ξ)不相关的例子101

4.13. ξ与η独立且η与ζ独立而ξ与ζ不独立101

4.14. 独立性与不相关性等价的随机变量103

4.15. 两个同分布但不独立的随机变量105

4.16. 次序统计量ξ(1)，ξ(2)，…，ξ(n)未必相互独立107

4.17. 两个不相互独立而条件独立的随机变量108

4.18. 两个相互独立而非条件独立的随机变量109

4.19. E(η︱ξ)═══？Eη而ξ与η相互不独立110

4.20. ξ与η不相关而E(η︱ξ)═══？Eη不成立112

4.21. ξ与ζ相互独立而E(ξ︱η，ζ)═══？E(ξ︱η)不成立114

第五章 随机变量的特征函数119

5.1. 特征函数列的极限未必是特征函数119

5.2. 连续型随机变量的特征函数不一定绝对可积120

5.3. ？ζ+η+(t)=？ζ(t)? η(t)而ξ与η不相互独立121

5.4. 公式？ζ(k)(0)=ikEξk不能推广到多元特征函数的情形125

5.5. 特征函数可微而数学期望不存在的随机变量126

5.6. 特征函数在有限区间上的值不能唯一决定分布函数130

5.7. 由φ1φ2=φ1φ3不能推出φ2=φ3132

5.8. 不取零值但不是无穷可分的特征函数133

5.9. φ1φ2无穷可分而φ1和φ2不都是无穷可分135

5.10. ︱φ︱无穷可分而φ不无穷可分141

5.11. 无穷可分而有不可分解因子的特征函数141

6.1. 依概率收敛而不几乎处处收敛144

第六章 随机变量序列的收敛性144

6.2. 依概率收敛而不r-阶平均收敛147

6.3. 几乎处处收敛而不r-阶平均收敛148

6.4. r-阶平均收敛而不几乎处处收敛149

6.5. 依分布收敛而不依概率收敛150

6.6. 弱收敛而不完全收敛152

6.7. ζn→?ξ和ηn→?η而ξn+ηn→?ξ+η不成立154

6.8. ξn→？0而？Sa→？0不成立156

6.9. ξa→ξ而f(ξn)→f(ξ)不成立158

6.10. 几乎处处收敛而矩不收敛161

6.11. 依概率收敛而数学期望和方差都不收敛162

6.12. 几乎一致收敛而不r-阶平均收敛163

6.13. ∑？(ξn-Eξn)a.s.收敛而∑？Dξn发散164

第七章 极限定理166

7.1. 波雷尔--康特立引理中事件独立性的条件不能少166

7.2. 不满足马尔可夫条件而服从大数定律170

7.3. 不满足车贝晓夫大数定律的条件而服从大数定律171

7.4. 不满足辛钦大数定律的条件而服从广义大数定律173

7.5. 服从弱大数定律而不服从强大数定律175

7.6. Kolmogoroo强大数定律中的独立性条件不能少178

7.7. Kolmogoroo强大数定律之逆不真179

7.8. 服从强大数定律而不服从中心极限定理181

7.9. 服从中心极限定理而不服从大数定律184

7.10. 服从中心极限定理而不满足林德贝格条件186

7.11. 满足林德贝格条件而不满足李雅普诺夫条件187

7.12. 满足费勒条件而不满足林德贝格条件191

7.13. 既不服从大数定律又不服从中心极限定理192

7.14. 既服从强大数定律又服从中心极限定理196

7.15. 服从中心极限定理的相依随机变量序列198

7.16. 服从大数定律的相依随机变量序列202

7.17. 服从强大数定律与中心极限定理的相依随机变量序列204

7.18. 不服从大数定律与中心极限定理的相依随机变量序列207

第八章 数理统计214

8.1. 样本均值？与样本方差Sn2未必独立214

8.2. 矩估计不唯一216

8.3. 矩估计未必存在217

8.4. 极大似然估计(MLE)不唯一218

8.5. 无偏估计未必存在220

8.6. 无偏估计存在但未必合理222

8.7. 非一致估计是存在的223

8.8. 一致估计不唯一224

8.9. 若？是θ的无偏估计而u(？)未必是u(θ)的无偏估计224

8.10. MLE的另一种求法225

8.11. MLE未必是一致估计227

8.12. 非指数型分布族是存在的229

8.13. 不完备的分布族是存在的231

8.14. 充分而不完备的统计量233

8.15. 不充分而完备的统计量236

8.16. 既不充分也不完备的统计量238

8.17. 不完备的分布族可能有完备的统计量241

8.18. 联合充分统计量的分量未必是充分统计量242

8.19. 有界完备未必是完备的244

8.20. 若可测函数f(X)的分布与未知参数θ有关，f(X)也可能与有界完备统计量t(X)的独立246

8.21. 极大似然估计未必是充分估计量247

8.22. 非有效估计的例248

8.23. 无偏估计的方差可能低于C-R下界253

8.24. 有效估计未必存在254

8.25. Rao-Cramér不等式的条件不满足也可能存在一致最小方差无偏估计257

8.26. 若θ是θ的有效估计，u(？)未必是u(θ)的有效估计260

8.27. 极大似然估计未必是有效估计263

8.28. 充分估计量未必是有效估计264

8.29. 若θ的估计量？渐近地服从正态分布N(θ？)，也不能说？是θ的渐近有效估计266

8.30. 次序统计量(X(1)，X(2)，…，X(n))未必完备269

8.31. 总体分布为连续型MP检验也可能是随机化检验271

8.32. UMP检验可能不存在277

8.33. UMP检验是无偏检验但反之不真279

8.34. UMP检验不存在而UMP无偏检验存在282

参考文献286