《概率统计中的反例》求取 ⇩

4—5 随机变量ξ在0＜r＜1时，Eξ存在；但在r≥1

第一章 与随机事件、概率空间、古典概型有关的反例1

1—1 基本事件但不是事件的例子1

目录1

（＊）3—19 分布函数F1和F2的卷积绝对连续，但F1和F2

（＊）3—24 ξ与η独立，分别服从B（α1,β1）及B（α2,β2

1—2 同一随机现象可以用不同的样本空间来描述的例子2

1—3 两事件互斥但不互逆的例子4

1—4 概率为0的事件并非是不可能事件的例子5

1—5 概率为1的事件并非是必然事件的例子6

（＊）1—6 集类E上的非负集函数μ具有有限可加性、连续性但不具有可列可加性的例子6

1—7 上极限事件和下极限事件不相等的例子11

1—8 非古典型随机试验的例子12

第二章 与独立性、条件概率有关的反例14

2—1 两事件不独立的例子14

2—2 两事件不独立，但不一定互斥的例子16

2—3 事件两两独立，但并非相互独立的例子17

事件并非两两独立的例子19

2—4 P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)，但A，B，C三19

2—5 说明P(A),P(A｜B),P（AB）三者不同含义的例子22

2—6 非独立试验概型（非Bernoulli概型）的例子24

（＊）2—7 ？supE｜ξn｜＜∞，但ξn？ξ不成立的例子25

（＊）2—8 并非任何一个鞅｛ξn｝均存在一个满足E｜ξ｜＜∞的随机变量ξ和概率空间（Ω,？1,P）中？1的子σ代数？n使得ξn＝E｛ξ｜？n｝的例子28

（＊）2—9 ξ与ζ独立，但E（ξ｜η,ζ）？E（ξ｜η）的例子29

第三章 与随机变量，分布函数有关的反例31

3—1 ξ（w）是定义在概率空间（Ω,？,P）上的单值实函数，但它不是（Ω,？1,P）上的随机变量的例子31

（＊）3—2 随机变量的勒贝格可测函数不一定是随机变量的例子32

3—3 既非离散型，又非连续型的分布函数的例子37

3—4 设ξ是一个连续型随机变量，g是某个连续函数，η＝g（ξ）不是连续型随机变量的例子41

3—5 不同的随机变量（向量），具有相同的分布函数的例子43

3—6 连续型随机变量之密度函数未必是连续的例子44

3—7 二元函数F（x,y）对每个变元非降，左连续且F(x,-∞)＝0,F(-∞,y）＝0,F（+∞,+∞）＝1但仍不是分布函数的例子46

3—8 边际分布是正态分布，但联合分布不是多元正态分布的例子48

3—9 随机变量ξ、η相互独立，而且同分布，但不一定有ξ＝η（α,s）成立的例子53

3—10 ξ、η同分布但不独立时，ξ＝ξ－η不一定是对称随机变量的例子54

（＊）3—11 ξ、η服从正态分布，但ξ、η不独立，则ξ＋η不一定服从正态分布的例子56

3—12 两个不同的联合分布（函数），它们可以有相同的边际分布的例子58

3—13 随机变量ξ1,ξ2,ξ3，两两独立，但不相互独立的例子62

3—14 ξ、η不独立，但ξ2和η2独立的例子66

3—15 相同的随机向量构造的不同的Borel可测函数（不恒等于常数）之间也可能是独立的例子。69

3—16 从随机向量ξ＝（ξ1,ξ2，…,ξm）和η＝（η1,η2，…,ηn）之间的独立性推不出ξ的分量ξ1,ξ2,…,ξm或者η的分量η1,η2,…,ηn之间的独立性的例子72

3—17 ξ和η1独立，ξ和η2独立，但ξ和随机向量（η1,η2）不独立的例子74

（＊）3—18 非独立随机变量序列的例子76

不绝对连续的例子77

（＊）3—20 随机变量ξ、η的各阶矩不全存在，即使ξ、η已经存在的各阶矩相等，亦不能推出ξ,η的分布相同的例子78

（＊）3—21 ξ与？有相同的分布，而ξ并非服从哥西分布的例子79

（＊）3—22 ξ与1－ξ有相同的分布，而ξ并非服从B（α,α）分布的例子81

（＊）3—23 ξ与η独立同分布，ξ＝？～？（1,0）＝？，但ξ,η并非服从正态分布的例子83

分布，又ξη～B（α,β），则β＝β1＋β2，但只有α＝α1或α＝α2的例子85

（＊）3—25 ？Sk（mk＝Eξk）对S不绝对收敛，｛mk｝仍唯一决定ξ之分布函数的例子85

第四章 与数字特征有关的反例87

4—1 随机变量的数学期望不存在（从而方差也不存在）的例子87

4—2 随机变量的数学期望存在，但方差不存在的例子89

4—3 任何阶矩都不存在的随机变量的例子92

4—4 随机变量ξ的一阶矩存在，但没有更高整数阶矩的例子95

时，E？不存在的例子96

4—6 随机变量ξ1和ξ2，它们的一切整数阶矩都相同（即Eξ？＝Eξ？,k＝1,2,3…），但它们的分布函数不相等的例子97

4—7 随机变量ξ1和ξ2不相关，但也不独立的例子101

4—8 相关系数ρ（ξ1,ξ2）＞0，ρ（ξ2,ξ3）＞0，但ρ（ζ1,ζ3）＜0的例子105

4—9 ξ1和ξ2不独立，但E（ξ1·ξ2）＝Eξ1·Eξ2的例子106

4—10 ξ1,ξ2独立，但E（ξ1＋ξ2）k？Eξ？＋Eξ？的例子（正整数k？1）108

4—11 　E［E（η｜ξ）］存在，但Eη不存在，因而Eη＝E［E（η｜ζ）］不成立的例子109

4—12 中位数不唯一的例子111

4—13 数学期望不存在，但中位数存在的随机变量的例子112

4—14 随机变量的众数不唯一的例子113

第五章 与特征函数、母函数有关的反例114

5—1 随机变量ξ1,ξ2不独立，但？ξ1＋ξ2（t）＝？ξ1（t）·？ξ2（t）成立的例子114

5—2 当k为奇数时，随机变量ξ的特征函数？（t）在t＝0处可微分k次，但Eξk不存在的例子122

5—3 分布函数绝对连续，但其对应的特征函数不绝对可积的例子125

5—4 特征函数？（t）在有限区间内的值不足以唯一确定此？（t），从而也不足以唯一决定分布函数F（x）的例子126

5—5 特征函数列的极限函数不是特征函数的例子129

5—6 分布函数不具有再生性的例子130

5—7 分布函数F（x）不是无穷可分分布的例子133

5—8 无处为0的特征函数不是无穷可分的例子134

5—9 无穷可分的特征函数可以分解为不是无穷可分的特征函数的乘积的例子134

5—10 随机变量的矩母函数不存在的例子137

5—11 随机变量ξ的各阶矩都存在，但矩母函数不存在的例子138

（＊）5—12 并非所有的特征函数都是解析的例子139

（＊）5—14 无穷可分的特征函数存在不可分解因子的例子140

（＊）5—13 消去法对一般特征函数之分解不一定成立的例子140

第六章 与收敛性有关的反例143

6—1 分布函数列｛Fn（x）｝弱收敛于F（x），但F（x）不是分布函数的例子143

6—2 分布函数列Fn（x）？F（x），但F（x）不唯一的例子144

6—3 即使？ξn（w）＝ξ（w）对？∈Ω都成立，也不能保证？Fn（x）＝F（x）对？x∈R1成立的例子145

6—4 Fn（x）？F（x），但Eξ？→Eξk不成立的例子147

6—5 Fn（x）？F（x），但Fn（x）？F（x）不成立的例子148

6—6 设分布函数列｛Fn（x）｝对应的特征函数列为｛？n（t）｝，若｛？n（t）｝收敛于某函数？（t），但？（t）在t＝0不连续，则推不出｛Fn（x）｝弱收敛于某分布函数的例子150

6—7 由ξn？ξ推不出相应的分布密度函数或概率分布的收敛性的例子151

6—8 ξn（w）？ξ（w），但ξn（w）？ξ（w）不成立的例子153

6—9 ξn（w）？ξ（w）但Eξ？→Eξk（？k≥1）不成立的例子155

6—10 ξn？ξ但ξn？ξ不成立的例子157

6—11 波雷尔——康特立引理（1）的逆不成立的例子161

6—12 ξn？ξ但ξn？ξ不成立的例子162

6—13 设0＜s＜r，ξn？ξ但ξn？ξ不成立的例子163

6—14 有关r一阶收敛与几乎处处收敛之间关系的反例165

（＊）6—15 当Fn？F时，？F的例子167

（＊）6—16 ξn依分布收敛到ξ（记为ξn？ξ），但ξn之矩母函数Mn（s）不收敛到ξ之矩母函数M（s）的例子168

（＊）6—17 矩母函数的极限函数不是矩母函数的例子169

7—1 随机变量序列｛ξn｝不服从于大数定律的例子170

第七章 与大数定律、中心极限定理有关的反例170

7—2 随机变量序列｛ξk｝不满足马尔科夫条件，但服从大数定律的例子175

7—3 独立随机变量序列｛ξk｝不满足车贝谢夫大数定律的条件，但满足马尔科夫大数定律条件的例子178

7—4 独立随机变量序列｛ξk｝不满足格涅坚科大数定律的充要条件的例子179

7—5 马尔科夫条件满足，但柯尔莫哥洛夫强大数定律条件不满足的例子181

7—6 独立随机变量序列｛ξk｝不满足强大数定律的例子184

7—7 林德贝格条件不满足，但中心极限定理仍成立的例子187

7—8 费勒条件不满足，但中心极限定理仍成立的例子189

7—9 有关大数定律和中心极限定理之间关系的反例191

7—10 随机变量序列｛ξn｝独立同分布，但不服从中心极限定理的例子196

＊）7—11 E｜ξ｜2＝∞,Lindeberg-Iévy中心极限定理仍成立的例子197

（＊）7—12 ｛ξnk1≤k≤n,n≥1｝满足u,a,n条件，但？｜ξnk｜？0的例子198

（＊）7—13 ？∞,｛ξn｝仍服从强大数定律的例子199

（＊）7—14 ？（ξn－Eξn）a,s收敛，但？Dξn＝∞的例子200

第八章 与充分统计量和完全统计量有关的反例203

8—1 并非一切统计量都是充分统计量的例子204

（＊）8—2 极小充分统计量不是完全充分统计量的例子206

8—3 次序统计量不是完全统计量的例子209

8—4 有界完全的分布族（或统计量）不是完全的分布族（或统计量）的例子211

（＊）8—5 可测函数f（X）与有界充分完全统计量t（X）独立，但f（X）的分布与θ有关的例子215

8—6 充分统计量的函数不是充分统计量的例子216

8—7 充分完全统计量的函数不是充分完全统计量的例子217

8—8 指数族分布表达式中的T（X）不是充分完全统计量的例子217

（＊）8—9 在适当的条件下，当Ti（？i）是θi（i＝1,2）的充分统计量时，（T1（X1）,T2（X2））是（θ1,θ2）的联合充分统计量的例子221

第九章 与点估计有关的反例223

9—1 参数不存在无偏估计的例子223

9—2 无偏估计不是一致最小方差无偏估计的例子225

9—3 X～｛f（x;θ），θ∈？｝,x1,…,xn是其iid样本，参数θ的无偏估计是X1,X2,…,Xn的对称函数，但不是θ的UMVUE的例子229

（＊）9—4 无偏估计存在，而UMVUE不存在的例子231

9—5 ？是θ的无偏估计，而g（？）不是g（θ）的无偏估计的例子（其中g（X）是X＝（X1,…,Xn）的Borel可测函数）232

9—6 在一定的优良性准则下，用S？234

（Xi－？）2去估计σ2较之用S？234

×（Xi－？）2去估计σ2更优的例子234

9—7 无偏估计不是一致（相合）估计的例子235

9—8 无偏估计的方差低于Rao-Cramér不等式下界的例子238

9—9 UMVUE其方差达不到Rao-Cramér不等式下240

界的例子240

9—10 充分统计量不是有效估计量的例子241

（＊）9—11 参数的UMVUE不是参数的可容许估计的例子244

9—12 某些条件不满足，但似然方程仍然存在一致（相合）解并且满足渐近正态性的例子250

（＊）9—13 参数θ的一致（相合）渐近正态估计？在θ点的渐近方差？中的v（θ）低于C—R下界的例子254

9—14 若Tn（X）是θ的一致估计，又｜Tn－θ｜≤An＜∞，则Tn不是θ的均方一致估计〔即E（Tn－θ）2→0,（n→∞）〕的例子260

9—15 极大似然估计不是充分统计量的例子262

9—16 极大似然估计不是有效估计的例子266

9—17 似然方程的解不是极大似然估计的例子267

（＊）9—18 极大似然估计不是一致估计的例子271

第十章 与假设检验有关的反例277

10—1 不是单参数指数族，但具有单调似然比的例子277

（＊）10—2 单边假设检验不存在一致最优势检验（记为UMP检验）的例子279

（＊）10—3 双边假设检验不存在UMP检验的例子282

（＊）10—4 检验函数φ对公共边界相似，但φ没有Neyman结构的例子287

10—5 当正则条件不成立时，Wilks定理中关于似然比极限分布的结论可以不成立的例子288

10—6 对固定的样本大小而言，似然比检验可以不是无偏的例子291

10—7 一个很坏的似然比检验的例子294

第十一章 与线性模型有关的反例301

11—1 在非正态的条件下，参数的最小方差线性无偏估计不再是最小方差无偏估计的例子301

第十二章 与抽样理论有关的反例306

12—1 当检查人员可能犯错误时，全面检查不一定比抽样检查更好的例子306

主要参考文献312