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第一章 一元多项式的基本理论1

第一节 数域1

第二节 一元多项式的定义和运算1

第三节 多项式的整除性4

第四节 多项式的最高公因式6

第五节 多项式的分解10

第六节 多项式的根14

一、多项式函数14

二、多项式的根16

三、复系数多项式的根16

四、方程的变形19

习题22

第二章 实系数多项式27

第一节 根的共轭性27

第二节 根模的界限28

第三节 Sturm定理31

第四节 Descartes符号律36

习题38

第三章 行列式40

第一节 行列式的定义40

第二节 行列式的性质48

第三节 行列式对任意行(列)的展开公式53

第四节 行列式的计算56

第五节 Cramer法则64

习题69

第四章 向量和矩阵76

第一节 向量及其运算76

一、向量的概念76

二、向量的运算77

三、向量的Euclid长度80

第二节 矩阵及其运算81

一、矩阵的概念81

二、矩阵的运算83

三、对称矩阵91

四、几种特殊形式的矩阵及其在乘法运算中的作用92

第三节 矩阵乘积的行列式97

第四节 矩阵的分块99

一、分块矩阵99

二、分块矩阵的运算100

三、矩阵的列向量和行向量108

四、排列矩阵110

第五节 逆矩阵112

第六节 直交矩阵和酉矩阵123

习题128

第五章 线性空间和线性变换138

第一节 线性空间的定义和例子138

第二节 维数142

一、相关性概念142

二、相关向量系的性质143

三、有限维空间148

第三节 基底与坐标150

第四节 子空间157

一、子空间的定义和例157

二、子空间的和与交159

三、子空间的直接和162

第五节 线性空间的同构164

一、映射164

二、线性空间的同构166

第六节 内积空间170

一、Euclid空间170

二、直交性概念174

三、Euclid空间的直交分解182

四、酉空间185

第七节 线性变换187

一、线性映射187

二、线性映射的运算189

三、线性变换的矩阵表示192

四、直交变换和酉变换202

五、对称变换206

六、象空间和核空间207

七、不变子空间209

八、投影变换211

习题217

第六章 线性方程组232

第一节 矩阵的秩232

第二节 线性方程组的相容性239

第三节 齐次方程组的解空间241

第四节 线性方程组的解法243

第五节 线性最小二乘问题和广义逆矩阵249

一、线性方程组的最小二乘解249

二、广义逆矩阵253

习题256

第七章 矩阵的特征值问题263

第一节 特征值和特征向量263

一、矩阵的特征值和特征向量定义263

二、矩阵的特征值和特征向量的计算263

三、特征值和特征向量的例265

四、Hamilton-Cayley定理267

五、线性变换的特征值和特征向量268

第二节 特征值和特征向量的基本性质271

第三节 实对称矩阵277

一、实对称矩阵的特征值和特征向量277

二、实矩阵的三角化278

三、实对称矩阵的对角化280

四、实对称矩阵的特征向量系280

五、复矩阵的情形281

六、实对称矩阵的谱分解281

第四节 特征值的估计282

一、Gerschg?rin圆282

二、Gerschg?rin圆的一些应用284

习题287

第八章 实二次型292

第一节 实二次型及其简化292

一、实二次型的定义292

二、实二次型的简化293

三、实二次型的分类297

第二节 正定二次型与正定矩阵299

一、正定性概念299

二、正定矩阵的性质300

三、判断正定矩阵的方法302

第三节 实二次型的极性304

一、Rayleigh商304

二、Rayleigh商的极性304

三、二次型的值域306

四、实对称矩阵特征的分隔定理306

第四节 广义特征值问题简介308

一、广义特征值问题308

二、广义特征向量的共轭性309

习题312

附录 Jordan标准形314

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