《应用数学物理方程》求取 ⇩

1数学模型与定解条件1

1.1引言1

1.2数学模型1

1.2.1弦振动与膜振动2

1.2.2固体中的热传导及扩散问题7

1.2.3静电场的位势10

1.2.4电报方程（传输线方程）11

1.3定解条件与定解问题13

1.3.1泛定方程13

1.3.2定解条件13

1.3.3定解条件的形式和定解问题14

1.3.4定解问题的适定性介绍17

1.4偏微分方程的基本概念及线性迭加原理18

1.4.1偏微分方程的基本概念18

1.4.2线性偏微分方程的迭加原理20

习题21

2分离变量法24

2.1引言24

2.2直角坐标系下的分离变量法24

2.2.1齐次方程定解问题的解法——分离变量法24

2.2.2非齐次方程定解问题的解法33

2.2.3非齐次定解条件的处理40

2.2.4分离变量法要点42

2.2.5混合问题解的适定性43

2.2.6在直角坐标系下分离变量法的进一步应用45

2.3极坐标系下的分离变量法48

2.3.1圆域内拉普拉斯方程的狄里克莱问题的分离变量法49

2.3.2圆域内泊松方程狄里克莱问题的固有函数法51

2.4柱坐标系下的分离变量法55

2.4.1贝塞尔函数55

2.4.2圆柱内热传导方程混合问题的分离变量法63

2.4.3圆柱内拉普拉斯方程狄里克莱问题的分离变量法65

2.4.4圆柱内波动方程混合问题的分离变量法67

2.5球坐标系下的分离变量法70

2.5.1勒让德多项式70

2.5.2球域内拉普拉斯方程狄里克莱问题的分离变量法78

2.5.3球域内拉普拉斯方程诺依曼问题的分离变量法80

2.6斯特姆-刘维尔问题81

2.6.1基本概念81

2.6.2基本性质82

习题83

3积分变换法87

3.1引言87

3.2δ-函数88

3.2.1δ-函数的概念88

3.2.2δ-函数89

3.2.3高维的δ-函数的傅里叶展开式90

3.2.4δ-函数的傅里叶展开式样91

3.3傅里叶变换法91

3.3.1傅里叶变换及其性质91

3.3.2求解定解问题的傅里叶变换法99

3.4拉普拉斯变换法104

3.4.1拉普拉斯变换及其性质104

3.4.2求解定解问题的拉普拉斯变换法115

3.5基本解及其性质119

3.5.1波动方程的基本解及其性质120

3.5.2热传导方程的基本解及其性质123

3.5.3调和方程的基本解及其性质124

习题126

4行波法129

4.1引言129

4.2一维波动方程柯西问题的行波法129

4.2.1达朗贝尔公式129

4.2.2解的物理意义131

4.2.3解的依赖区域决定区域和影响区域134

4.2.4半无界域上波动方程柯西问题的延拓法136

4.3三维波动方程柯西问题的解法139

4.3.1球对称三维波动方程的解139

4.3.2三维波动方程柯西问题的球平均法140

4.3.3三维波动方程柯西问题的类比法142

4.3.4解的物理意义143

4.4二维波动方程柯西问题的解法144

4.4.1降维法145

4.4.2解的物理意义146

4.5非齐次波动方程柯西问题的冲量定理法146

4.5.1一维非齐次波动方程柯西问题的解的表达式147

4.5.2二维非齐次波动方程柯西问题的解的表达式148

4.5.3三维非齐次波动方程柯西问题的解的表达式148

习题149

5格林函数法152

5.1引言152

5.2非齐次波动方程定解问题的格林函数法152

5.3非齐次热传导方程定解问题的格林函数法155

5.4拉普拉斯方程边值问题的格林函数法159

5.4.1拉普拉斯方程内问题和外问题的提法159

5.4.2格林公式161

5.4.3调和函数的基本性质163

5.4.4拉普拉斯方程的格林函数的表达式及物理意义165

5.4.5拉普拉斯方程边值问题的格林函数解法的应用实例168

5.5椭圆型方程边值问题的一些特殊解法172

5.5.1观察法172

5.5.2系数代入法174

5.5.3保角变换法179

习题183

6二阶线性偏微分方程的分类与小结187

6.1引言187

6.2二阶线性偏微分方程的分类与化简187

6.2.1含两个自变数的二阶线性方程的分类和化简188

6.2.2常系数二阶线性偏微分方程化归标准形195

6.2.3含多个自变量的二阶线性偏微分方程的分类200

6.2.4关于二阶线性偏微分方程分类的意义202

6.3数学物理方程定解问题及常用解法综述203

6.3.1定解问题的适定性203

6.3.2数学物理方程定解问题常用解法综述206

6.4三类典型方程的比较与归纳208

6.4.1三类方程定解问题提法的比较208

6.4.2三类方程的小结和解的性质的比较210

6.5广义解的概念215

6.5.1广义解的提出215

6.5.2调和方程狄里克莱问题的广义解216

习题220

7偏微分方程数值解222

7.1引言222

7.2有限差分方法的基本概念222

7.2.1有限差分近似222

7.2.2差分格式的相容性、收敛性和稳定性228

7.2.3判定差分格式稳定性的常用方法234

7.3抛物型方程的差分解法244

7.3.1常系数抛物方程的主要差分格式244

7.3.2主要差分格式的稳定性248

7.3.3初边值问题条件的差分处理253

7.4双曲型方程的差分解法255

7.4.1一阶双曲型方程差分格式255

7.4.2一阶双曲型方程组差分格式262

7.4.3二阶双曲型方程差分格式264

7.5椭圆型方程的差分解法267

7.5.1拉普拉斯方程的有限差分法267

7.5.2泊松方程差分格式269

7.5.3差分格式的性质271

7.5.4边界条件的处理273

7.6有限元法初步276

7.6.1变分原理276

7.6.2里茨法277

7.6.3伽辽金法280

7.6.4有限元的特点281

习题282

附录Ⅰ正交函数系及一般展开概念285

Ⅰ.1正交函数系概念285

Ⅰ.2简单正交系的例286

Ⅰ.3函数的展开287

Ⅰ.4正交系的完备性287

Ⅰ.5双变量正交系·二重傅里叶级数289

附录Ⅱ第一类和第二类贝塞尔函数表291

附录Ⅲ贝塞尔函数的零点表291

附录Ⅳ勒让德多项式292

附录Ⅴ傅里叶变换简表294

附录Ⅵ拉普拉斯变换简表296

参考文献300