《数学物理方程及其应用》

第一章 定解问题·方程的分类1

1 变分原理1

一、泛函·变分问题二、基本引理·极值的必要条件三、变分原理2 方程导出·定解问题6

一、均匀弦的横振动·波动方程二、均匀膜的横振动·位势方程三、扩散方程四、定解问题3 方程的化简与分类·特征方程11

一、方程的化简·特征方程二、方程的分类习题一17

第二章 双曲型方程19

1 弦振动方程混合问题19

一、自由振动·分离变量法二、强迫振动·固有函数法·齐次化原理三、非齐次边界条件的情形四、施特姆－刘维尔理论简介2 弦振动方程柯西问题35

一、无界弦的自由振动·达朗贝尔方法二、半无界弦的自由振动·延拓法三、强迫振动·特征线法3 高维波动方程混合问题39

一、自由振动二、强迫振动4 高维波动方程柯西问题46

一、自由振动二、强迫振动习题二50

第三章 抛物型方程54

1 一维热传导方程混合问题54

一、无源情形·三类边界条件二、有源情形2 一维热传导方程柯西问题·傅里叶积分法65

一、无源情形二、有源情形3 高维热传导方程混合问题67

一、均匀矩形板热传导二、均匀圆形板热传导4 高维热传导方程柯西问题69

习题三70

第四章 椭圆型方程73

1 边值问题的提法73

一、第一边值问题二、第二边值问题三、第三边值问题四、第四边值问题五、狄利克莱外问题与牛曼外问题2 边值问题的解法76

一、圆域的狄利克莱问题·泊松积分二、圆环域的狄利克莱问题三、矩形域的狄利克莱问题四、泊松方程的狄利克莱问题五、圆域的牛曼问题六、矩形域的牛曼问题·格仁贝尔方法七、立方体的狄利克莱内问题·稳定温度场八、圆柱体的狄利克莱内问题·电位的稳定分布九、球体的狄利克莱问题3 视察法90

习题四92

第五章 积分变换法95

1 傅里叶变换的概念和性质95

一、傅里叶积分二、傅里叶变换的概念三、傅里叶正弦变换与余弦变换四、常用函数的傅里叶变换五、傅里叶变换的性质六、半无穷区间上的傅里叶正（余）弦变换七、n维傅里叶变换2 用傅里叶变换法解偏微分方程104

3 拉普拉斯变换的概念和性质109

一、拉普拉斯变换的概念·存在定理二、拉普拉斯变换的性质三、常用函数的拉普拉斯变换四、拉普拉斯逆变换的求法·海维赛展开式4 用拉普拉斯变换法解偏微分方程117

5 有限傅里叶变换122

习题五127

第六章 格林函数法131

1 格林公式·δ函数131

一、格林公式二、多维δ函数及其性质2 基本解135

一、方程Lu=f的基本解二、柯西问题的基本解三、基本解的求法3 格林函数及其性质141

4 用格林函数法求边值问题的解143

一、狄利克莱问题的解二、牛曼问题的解5 静电源象法（镜象法）148

一、圆和上半平面的格林函数及其狄利克莱问题二、四分之一无限平面和半圆上的格林函数三、球域的格林函数及其狄利克莱问题的解四、半空间的格林函数及其狄利克莱问题的解6 波动方程与热传导方程的格林函数法156

一、弦振动方程的格林函数法二、热传导方程的格林函数法习题六159

第七章 积分方程161

1 积分方程的基本概念161

一、积分方程的基本概念和分类二、线性积分方程解的性质三、积分方程与微分方程之间的关系2 具有可分离核（退化核）的弗雷德霍姆方程164

一、可分离核二、具有可分离核的第二类弗雷德霍姆方程的解法三、解法举例3 第二类弗雷德霍姆方程的逐次逼近法169

一、逐次逼近法二、解法举例4 预解式解法·弗雷德霍姆定理170

一、第二类弗雷德霍姆方程的预解式解法二、转置积分方程·齐次方程的解5 沃尔特拉方程的解法175

一、卷积型特殊沃尔特拉方程的解法二、沃尔特拉方程的逐次逼近法三、第一类沃尔特拉方程的解法四、转化成微分方程求解法习题七179

第八章 定解问题的适定性181

1 弦振动方程181

一、混合问题二、柯西问题2 热传导方程185

一、混合问题二、柯西问题3 调和方程190

一、最大（小）值原理二、唯一性和稳定性三、存在性4 不适定问题与数学物理方程的逆问题196

习题八197

第九章 定解问题的近似解法198

1 变分方法198

一、狄利克莱定理二、里兹法三、伽辽金法2 差分方法204

一、基本概念二、三类典型方程的差分格式三、差分方程解的收敛性及差分格式的稳定性3 有限元方法213

一、区域的剖分方式二、插值函数的构造三、单元刚度分析习题九217

第十章 偏微分方程组219

1 方程组的例子219

2 一阶偏微分方程组220

一、两个自变量的一阶线性偏微分方程组的分类二、狭义双曲型方程组化为对角型3 解方程组的逐次逼近法与幂级数法225

一、解狭义双曲型方程组柯西问题的逐次逼近法二、一类拟线性方程组柯西问题的幂级数解法习题十231

附录Ⅰ 预备知识232

附录Ⅱ 特殊函数239

习题十一254

附录Ⅲ 分离变量法与格林函数法表解256

附录Ⅳ 积分变换表262

习题答案268

参考书目285