《高等数学 上》

第一章函数、极限、连续1

1函数1

1-1函数概念1

1-2函数的改变量与线性函数的基本性质9

1-3反函数与复合函数13

1-4基本初等函数与初等函数17

1-5双曲函数与反双曲函数19

1-6函数应用举例22

2数列的极限26

2-1数列极限的概念26

2-2数列收敛的条件30

2-3数列极限的有理运算37

3函数的极限41

3-1自变量无限趋大时的函数极限41

3-2自变量趋向有限值时的函数极限44

3-3函数极限的运算法则与两个重要的极限51

4无穷大量与无穷小量60

4-1无穷大量60

4-2无穷小量62

4-3无穷小量的比较65

5连续函数69

5-1函数的连续性69

5-2连续函数的运算与初等函数的连续性72

5-3间断点76

5-4闭区间上连续函数的性质80

第一章习题84

附录一充分条件与必要条件92

附录二 基本初等函数的图形及其简单性质94

第二章导数与微分99

1导数概念99

1-1导数的定义99

1-2几个基本初等函数的导数公式104

1-3导数的几何意义108

1-4函数的可导性与连续性的关系113

1-5导数的物理意义115

1-6二阶导数与高阶导数120

2导数的运算122

2-1函数的和、差、积、商的导数122

2-2复合函数的导数127

2-3反函数的导数134

2-4隐函数及其求导法137

2-5初等函数的求导问题142

2-6导数在物理、力学中的应用举例144

3参数方程和极坐标方程的求导问题151

3-1参数方程的求导问题151

3-2极坐标方程的求导问题155

3-3极坐标方程在机械工程中的应用举例157

4微分161

4-1微分概念161

4-2微分的几何意义164

4-3微分的运算166

4-4微分在近似计算中的应用168

第二章习题173

附录绝对误差、相对误差与有效数字178

第三章导数的应用182

1微分学中值定理182

1-1罗尔定理182

1-2拉格朗日定理185

1-3柯西定理与罗彼塔法则189

2泰勒定理198

2-1用多项式近似表示函数198

2-2泰勒定理201

2-3一些基本初等函数的泰勒公式205

2-4小o的运算209

3函数性态的研究212

3-1函数增减的判定212

3-2函数的极值214

3-3最大值、最小值问题221

3-4函数图形凹向的判定、拐点228

3-5函数作图问题234

3-6用牛顿切线法求函数方程的近似解239

4平面曲线的曲率245

4-1弧微分246

4-2曲率的定义与计算249

4-3曲率半径与曲率中心255

第三章习题259

第四章定积分与不定积分266

1定积分的概念与性质266

1-1几个有关定积分的问题266

1-2定积分的定义及存在定理271

1-3定积分的几何意义276

1-4定积分的性质积分中值定理278

2积分与导数、微分的关系285

2-1积分与导数的关系——微积分学基本定理285

2-2积分与微分的关系294

3不定积分与积分法296

3-1不定积分296

3-2换元积分法（Ⅰ）301

3-3换元积分法（Ⅱ）309

3-4分部积分法316

4两类积得出的积分323

4-1有理函数的积分324

4-2三角函数的有理式的积分331

5近似积分法334

6两种广义积分342

6-1无穷区间的广义积分342

6-2无界函数的广义积分346

6-3无穷积分的收敛判别法350

6-4无界函数积分的收敛判别法355

第四章习题360

附录将真分式化为部分分式366

第五章定积分的应用373

1建立积分式的方法373

2定积分在几何上的应用376

2-1平面图形的面积376

2-2体积381

2-3平面曲线的弧长385

3定积分在物理上的应用390

3-1液体压力390

3-2功394

3-3电场作用力399

3-4平均值402

第五章习题406

第六章常数项级数409

1无穷级数409

1-1无穷级数的概念及收敛原理409

1-2级数的主要性质414

2正项级数的收敛问题417

2-1基本定理418

2-2正项级数的审敛准则419

3任意项级数的收敛间题426

3-1交错级数与它的审敛准则426

3-2绝对收敛与条件收敛429

3-3绝对收敛级数的性质432

第六章习题437

第七章幂级数439

1函数项级数概念439

2幂级数和它的性质441

2-1幂级数及其收敛半径441

2-2幂级数的运算及其性质446

3函数项级数的一致收敛性450

3-1一致收敛概念450

3-2一致收敛判别法453

3-3一致收敛级数的性质455

4函数的幂级数展开459

4-1泰勒级数459

4-2几个初等函数的泰勒展开式462

5幂级数的应用举例467

第七章习题471

上册综合题475

附录482

答案495