《计算方法》

绪言1

数的浮点表示和浮点四则运算1

研究计算方法的必要性3

计算方法的主要内容6

第一章线性代数方程组的解法8

1消元法和矩阵分解8

1.1Gauss消元法的消元过程8

1.2回代过程10

1.3计算量和存贮11

1.4矩阵的LU分解12

1.5Doolittle分解14

1.6对称正定矩阵的LDLT分解16

2消元法在计算机上的实现18

2.1选取主元的必要性18

2.2选主元的方法19

2.3迭代改善20

2.4行列式和逆矩阵的计算20

3条件数21

3.1病态方程组举例21

3.2向量模22

3.3矩阵模23

3.4矩阵的谱半径26

3.5矩阵的条件数26

3.6矩阵的平衡28

4迭代法29

4.1一般迭代法29

4.2几种常用的迭代法31

4.3对角占优矩阵和不可约矩阵35

4.4迭代法收敛的充分条件38

5共轭斜量法39

5.1等价的极值问题40

5.2最速下降法40

5.3共轭斜量法41

5.4共轭斜量法的收敛性44

提要和注记46

习题47

第二章矩阵特征值和特征向量的计算51

1乘幂法51

1.1乘幂法51

1.2反幂法54

1.3原点位移54

1.4加速技巧55

1.5压缩57

2Jacobi方法60

2.1旋转变换60

2.2Jacobi方法62

2.3Jacobi方法在计算机上的实现64

3Givens-H ouseholder方法65

3.1三对角化过程65

3.2求对称三对角矩阵特征值的对分法71

3.3特征向量的计算75

4QR算法76

4.1QR算法的基本思想76

4.2Hessenberg型矩阵的QR算法77

4.3具有原点位移的QR算法80

4.4双步QR算法81

4.5特征向量的计算83

提要和注记84

习题85

第三章非线性方程（组）的解法和最优化问题的88

计算方法89

1非线性方程的解法89

1.1对分法89

1.2迭代法90

1.3Newton法91

2解非线性方程组的Newton法95

3一维搜索98

3.1搜索区间98

3.2黄金分割法99

3.3抛物线插值法101

4梯度法104

4.1最速下降法104

4.2共轭斜量法105

4.3无约束最优化问题的Newton法108

4.4变尺度法109

5直接搜索法112

5.1步长加速法（Hooke-Jeeves方法）112

5.2单纯形法115

提要和注记119

习题120

第四章函数插值和数值积分123

1Lagrange插值公式和Hermite插值公式123

1.1Lagrange插值公式123

1.2Hermite插值公式125

2Newton插值公式127

2.1差商和Newton插值公式127

2.2差分和等距节点的Newton插值公式129

3样条函数插值132

4数值积分137

4.1Newton-Cotes求积公式138

4.2梯形求积公式和抛物线求积公式139

4.3分半加速算法（Romberg算法）142

4.4Gauss型求积公式144

5快速富氏变换150

5.1离散富氏变换150

5.2离散富氏变换的快速算法152

提要和注记157

习题158

第五章常微分方程初值问题的数值解法161

1单步方法163

1.1Euler方法及其改进164

1.2Runge-Kutta方法166

1.3Richardson外推法170

2收敛性和稳定性173

2.1协调性174

2.2收敛性175

2.3稳定性179

2.4整体误差181

3多步方法182

3.1Adams外插方法182

3.2Adams内插方法184

3.3一般的线性多步方法186

3.4多步方法的应用技巧188

习题191

第六章偏微分方程的数值解法193

1边值问题的差分法193

1.1边值问题的差分逼近194

1.2差分解的存在、唯一性和收敛性197

1.3差分方程的求解-逐次超松驰法202

2初值问题的差分法205

2.1抛物型方程205

2.2差分格式的稳定性210

2.3双曲型方程215

3有限元方法221

3.1变分原理221

3.2Ritz-Galerkin方法226

3.3有限元逼近228

习题234