《计算方法》

第一章误差1

1 引言1

2 误差的来源1

3误差的基本概念3

3-1 误差与误差限3

3-2 相对误差与相对误差限5

3-3 有效数字6

3-4 有效数字与误差限的关系6

4 误差的运算9

5 数值计算中必须注意的问题10

习题一14

第二章插值方法16

1 引言16

2多项式插值问题的提法17

2-1 多项式插值问题的提法17

2-2 插值多项式的存在唯一性18

3拉格朗日（Lagrange）插值多项式19

3-1 基本插值多项式19

3-2 拉格朗日插值多项式20

4牛顿（Neuton）与埃特金（Aitken）逐次插值公式24

4-1 差分24

4-2 均差27

4-3 牛顿插值多项式31

4-4 用差分表示等距基点的插值公式32

4-5 埃特金逐次插值公式41

5 插值多项式的余项43

6分段线性插值47

6-1 插值过程的收敛性47

6-2 分段线性插值49

6-3 分段线性插值多项式的余项52

7厄米特（Hermite）插值53

7-1厄米特插值多项式的概念53

7-2 厄米特插值多项式H2n+1（x）的求法54

7-3 厄米特插值多项式的余项55

8分段三次厄米特（Hermite）插值59

8-1 分段三次厄米特插值的概念59

8-2 分段三次厄米特插值的余项61

9三次样条插值62

9-1 三次样条插值函数的概念63

9-2 三次样条插值函数的求法64

10二重插值70

10-1 二重差分71

10-2 二重插值法的一般公式72

习题二79

第三章数值积分与数值微分82

1引言82

1-1 定积分数值计算的必要性82

1-2 代数精度的概念83

1-3 插值型的求积公式84

2等距基点的求积公式85

2-1 梯形求积公式85

2-2 抛物线求积公式86

2-3 牛顿—柯特斯（Newton—cote）86

2-4 偶阶求积公式的代数精度89

2-5 差分求积公式90

3牛顿—柯特斯公式的误差分析93

3-1 余项估计93

3-2 稳定性与收敛性分析95

4复合求积公式97

4-1 复合梯形公式97

4-2 复合抛物线公式98

4-3 复合梯形求积公式的余项估计98

4-4 复合抛物线求积公式的余项估计99

4-5 步长的自动选择101

5龙贝格（Romberg）算法103

5-1 里查逊（Richardson）推法103

5-2 龙贝格求积公式104

6高斯（Gauss）型求积公式107

6-1 问题的提出107

6-2 高斯型求积公式108

6-3 正交多项式109

6-4 高斯点与正交多项式的关系113

6-5 高斯型求积公式的构造114

6-6 高斯型求积公式的余项117

6-7 高斯型求积公式的稳定性与收敛性118

6-8 一般高斯型求积公式及其构造120

7广义积分的数值方法125

7-1 无穷区间上的广义积分125

7-2 无界函数的广义积分127

8 二重积分的数值方法129

9数值微分132

9-1 插值型的微商公式132

9-2 实用的五点公式136

习题三138

第四章最小二乘拟合与函数逼近141

1 引言141

2 曲线拟合的最小二乘法141

3 多变量的数据拟合145

4 非线性曲线的数据拟合148

5 超定方程组及其最小二乘解154

6最佳平方逼近156

6-1 最佳平方逼近多项式的概念156

6-2 最佳平方逼近多项式的求法157

6-3 利用勒让德多项式的最佳平方逼近159

7最佳一致逼近161

7-1 最佳一致逼近多项式的概念161

7-2 最佳一致逼近多项式的唯一性161

7-3 最佳一致逼近多项式的近似求法163

习题四168

第五章解线性代数方程组的直接方法170

1高斯消去法170

1-1 高斯消去法的计算过程170

1-2 高斯消去法的运算量174

1-3 高斯消去法的矩阵解释175

2高斯主元素消去法178

2-1 完全主元素消去法179

2-2 列主元素消去法181

2-3 主元素法与排列矩阵的关系182

3矩阵的三角分解184

3-1 矩阵的三角分解184

3-2 矩阵的Crout分解185

3-3 矩阵的Doolittle分解187

4正定矩阵的Cholesky分解189

4-1 正定矩阵的性质189

4-2 正定矩阵的Cholesky分解190

5行列式和逆矩阵的计算192

5-1 行列式的计算193

5-2 逆矩阵的计算194

习题五197

第六章解线性方程组的迭代法199

1 引言199

2向量和矩阵的范数199

2-1 向量范数的概念与性质199

2-2 向量范数的主要例子202

2-3 矩阵范数的概念和性质202

2-4 矩阵范数的主要例子203

2-5 向量范数和矩阵范数的收敛性204

3几种常用的迭代格式207

3-1 雅可比（Jaeobi）迭代法207

3-2 高斯—塞德尔（Gauss—Seidel）迭代法209

3-3 松弛（SOR）迭代法210

4迭代法的收敛性211

4-1 迭代法的基本定理211

4-2 迭代收敛的充分判别法214

5 迭代法的误差估计217

习题六219

第七章矩阵特征值和特征向量的计算方法222

1 引言222

2 特征值的定域理论223

3幂法与反幂法226

3-1 幂法226

3-2 幂法的加速与降阶229

3-3 反幂法234

4Jacobi算法237

4-1 矩阵的正交相似交换237

4-2 求正交矩阵V的方法237

4-3 Jacobi方法的收敛性241

5LU和QR方法245

5-1 LU方法245

5-2 QR分解246

5-3 QR方法248

5-4 加原点平移的QR方法249

5-5 LU和QR方法的收敛性250

习题七252

第八章非线性方程求根254

1 引言254

2几种特殊的方法255

2-1 初始近似根的求法255

2-2 区间对分法256

2-3 比例求根法259

3 迭代法261

4 迭代收敛的加速264

5牛顿（Newton）法268

5-1 牛顿公式268

5-2 牛顿法的收敛性269

5-3 牛顿法应用举例271

5-4 解非线性方程组的牛顿迭代法273

6弦截法与抛物线法274

6-1 弦截法275

6-2 抛物线法279

7 秦九韶方法281

8 分离因子法284

习题八289

第九章常微分方程初值问题的数值解法291

1 引言291

2几种简单的数值解法292

2-1 欧拉（Euler）方法292

2-2 向后欧拉方法296

2-3 梯形公式297

2-4 改进的欧拉公式298

3龙格—库塔（Runge—Kutta）方法300

3-1 泰勒展开法300

3-2 龙格—库塔方法302

3-3 m级显式龙格—库塔方法304

4单步法的收敛性和稳定性307

4-1 单步法的收敛性307

4-2 单步法的稳定性310

5线性多步法314

5-1 数值积分法315

5-2 亚当姆斯（Adams）显式公式316

5-3 亚当姆斯隐式公式318

5-4 亚当姆斯公式的误差估计319

6 预测—校正公式320

7常微分方程组和高阶微分方程的数值解法325

7-1 两个未知函数的方程组325

7-2 化高阶方程为一阶方程组328

7-3 刚性（Stiff）方程组330

习题九335