《计算方法》求取 ⇩

第一章 误差1

1.1 误差的来源1

1.2 绝对误差、有效数字和相对误差限2

1.3 函数运算的误差6

1.4 算法设计中应注意的问题9

1.4.1 减少运算次数9

1.4.2 防止相近数做减法，以免降低有效数字的位数10

1.4.3 防止大数“吃”小数11

1.4.4 防止误差的扩散12

习题115

第二章 插值逼近17

2.1 问题的提法17

2.2 拉格朗日插值法20

2.2.1 两点线性插值21

2.2.2三点二次插值多项式22

2.2.3 n+1个节点的n次插值多项式24

2.2.4 n次插值的余项估计26

2.3 牛顿（Newton）插值法28

2.3.1 牛顿插值法的基本思想28

2.3.2 牛顿插值公式29

2.3.3 牛顿插值公式的计算过程34

2.4 等距节点牛顿插值公式37

2.4.1 差分及其性质37

2.4.2 等距节点插值公式40

2.4.3 牛顿前插、后插公式的计算过程41

2.5 埃尔米特（Hermite）插值公式43

2.5.1 埃尔米特插值公式44

2.5.2 误差分析45

2.6 插值逼近的收敛性49

2.7 分段插值及三次样条插值52

2.7.1 分段线性插值52

2.7.2 分段三次埃尔米特插值55

2.7.3 三次样条插值56

习题259

第三章 函数逼近62

3.1 预备知识及问题的提出62

3.1.1 预备知识63

3.1.2 问题的提出67

3.2 最佳一致逼近69

3.2.1 最佳一致逼近元的特征69

3.2.2 存在唯一性73

3.2.3 切比晓夫多项式在最佳一致逼近中的应用79

3.3 内积空间上的最佳逼近82

3.3.1 最佳逼近元的特征83

3.3.2 存在唯一性及构造方法83

3.3.3 误差估计85

3.4 最佳平方逼近86

3.4.1 函数的最佳平方逼近86

3.4.2 正交多项式在最佳平方逼近中的应用88

3.4.3 R空间上的最佳平方逼近90

3.4.4 最小二乘曲线拟合91

习题397

第四章 数值积分与数值微分99

4.1 数值积分99

4.2 牛顿—柯特斯（Newton-Cotes）求积公式104

4.2.1 公式的建立104

4.2.2 常用的N—C公式107

4.2.3 N—C公式的代数精确度108

4.2.4 N—C公式的误差分析109

4.2.5 N—C公式的数值稳定性111

4.3 低阶N—C公式的复合112

4.3.1 引言112

4.3.2 复合梯形公式113

4.3.3 复合抛物线公式116

4.4龙 伯格（Romberg）积分法119

4.4.1 里查逊外推法119

4.4.2 龙伯格积分法122

4.4.3 龙贝格积分法的计算步骤123

4.5 高斯（Gauss）型求积公式125

4.5.1 高斯型求积公式一般认识125

4.5.2 高斯型求积公式的建立方法128

4.5.3 几种常见的高斯求积公式132

习题4138

第五章 常微分方程的数值解法141

5.1 预备知识及算法概述141

5.1.1 预备知识141

5.1.2 算法概述143

5.2 欧拉（Euler）算法144

5.2.1 欧拉（Euler）算法的建立144

5.2.2 误差分析145

5.2.3 稳定性149

5.2.4 计算过程154

5.3 龙格—库特（Runge—Kutta）算法156

5.3.1 Runge—Kutta方法的一般形式156

5.3.2 RK方法的绝对稳定性163

5.4 一般显式一步法165

5.5 亚当姆斯（Adams）算法169

5.5.1 算法思想169

5.5.2 亚当姆斯显式算法169

5.5.3 亚当姆斯隐式算法171

5.6 一般线性多步法173

5.6.1 线性多步法的一般问题173

5.6.2 线性多步法的收敛性和稳定性177

5.7 一阶方程组的数值算法181

5.7.1 数值算法推广到方程组181

5.7.2 刚性方程组介绍182

习题5183

第六章 线性代数方程组的直接解法185

6.1 高斯消去法186

6.1.1 高斯消去法186

6.1.2 矩阵三角分解190

6.1.3 计算工作量194

6.1.4 编程注意事项及流程图196

6.2 高斯主元素消去法198

6.2.1 高斯消去法进行到底的条件198

6.2.2 主元素选取的必要性201

6.2.3 列主元素消去法203

6.2.4 完全主元素消去法205

6.3 高斯消去法的变形207

6.3.1 高斯—约当消去法207

6.3.2 直接三角分解法211

6.3.3 平方根法214

6.3.4 追赶法218

6.4 范数221

6.4.1 向量的范数222

6.4.2 方阵的范数225

6.4.3 谱半径、谱范数与F-范数227

6.5 误差分析228

6.5.1 扰动分析229

6.5.2 方阵的条件数234

6.6 超定线性方程组的最小二乘解237

6.6.1 线性最小二乘拟合237

6.6.2 法方程组239

6.6.3 矩阵的正交三角分解242

6.6.4 用正交化方法求最小二乘解244

习题6246

第七章 线性代数方程组的迭代解法249

7.1 引言249

7.2 Jacobi迭代法252

7.3 Gauss-Seidel迭代法255

7.4 迭代法的收敛条件257

7.5 逐次超松弛迭代法264

7.6 最速下降法268

7.6.1 等价问题与几何意义269

7.6.2 沿已知方向求F（x）的极小点270

7.6.3 最速下降法271

7.6.4 收敛性272

习题7274

第八章 矩阵特征值与特征向量277

8.1 乘幂法与逆幂法277

8.1.1 乘幂法277

8.1.2 原点平移加速技术283

8.1.3 逆幂法284

8.2 对称矩阵的Householder方法287

8.2.1 Householder矩阵及其性质287

8.2.2 实对称矩阵的三对角化291

8.2.3 对称三对角矩阵特征值的分布294

8.2.4 求对称三对角矩阵特征值的对分法297

8.3 QR算法300

8.3.1 QR算法的基本思想300

8.3.2 QR方法的收敛性301

习题8307

第九章 解非线性方程的数值方法309

9.1 对分法309

9.2 简单迭代法312

9.2.1 迭代法的基本思想312

9.2.2 简单迭代法的几何解释313

9.2.3 迭代法的收敛性及误差估计314

9.2.4 迭代法的收敛速度317

9.2.5 迭代函数的构造318

9.3 牛顿迭代法320

9.3.1 牛顿迭代法的基本思想320

9.3.2 牛顿迭代法的收敛性320

9.3.3 简化的牛顿迭代法324

9.4 弦割法326

9.4.1 弦割法的基本思想326

9.4.2 双点弦割法的收敛性326

9.4.3 单点弦割法328

习题9330

第十章 差分法简介333

10.1 常微分方程边值问题的差分法333

10.1.1 差分方程的建立333

10.1.2 差分方程的可解性及误差估计334

10.1.3 一般二阶方程第三边值问题337

10.2 椭圆型方程边值问题的差分法339

10.2.1 差分方程的建立339

10.2.2 差分解的存在性及误差估计342

10.3 抛物型方程的差分法344

10.3.1 差分方程的建立345

10.3.2 差分格式的稳定性和收敛性348

10.4 双曲型方程的差分方法352

10.4.1 差分格式的建立352

10.4.2 差分格式的稳定性354

习题10359

第十一章 有限元方法简介361

11.1 解偏微分方程的变分法361

11.1.1 椭圆型方程边值问题的变分原理361

11.1.2 Ritz方法365

11.2 有限元方法367

11.2.1 三角剖分与插值368

11.2.2 变分问题的离散化372

11.2.3 强加边界条件处理377

习题11380

第十二章 并行算法简介382

12.1 并行计算机模型383

12.1.1 SISD计算机模型385

12.1.2 MISD计算机模型386

12.1.3 SIMD计算机模型387

12.1.4 MIMD计算机模型393

12.2 并行算法的基本概念395

12.2.1 并行算法的定义、分类和术语395

12.2.2 并行算法的复杂性400

12.2.3 并行度402

12.2.4 加速比与相容性403

12.2.5 分而治之原则405

12.3 多项式求值并行计算407

12.3.1 求和计算的并行二分算法408

12.3.2 多项式求值的并行二分算法413

12.3.3 递推问题求终值的并行二分算法415

12.4 一阶线性递推问题并行计算417

12.4.1 相关链的二分手续418

12.4.2 奇偶二分法的算式419

12.4.3 奇偶二分法的矩阵表示421

12.5 三角线性方程组并行求解423

12.5.1 回代算法的并行化423

12.5.2 二分法的实现425

12.5.3 二分法的矩阵表示427