《计算方法》

前言1

第1章绪论1

1.1研究计算方法的必要性1

目录1

1.2误差的基本概念3

1.2.1绝对误差4

1.2.2相对误差4

1. 2.3有效数字5

1.3选用和设计算法应注意的问题8

2.1高斯列主元消去法12

2.1.1高斯消去法12

第2章线性方程组的数值解法12

2.1.2列主元消去法14

2.2对称正定矩阵的平方根法17

2.2.1矩阵的三角分解17

2.2.2对称正定矩阵的平方根法25

2.3三对角线性方程组的追赶法31

2.4线性方程组的迭代解法33

2.4.1雅可比迭代法34

2.4.2高斯—塞德尔迭代法36

2.4.3超松弛迭代法38

2.5向量范数与矩阵范数41

2.5.1向量范数42

2.5.2矩阵范数46

2.6.1方程组的性态48

2.6方程组的性态和迭代法的收敛性48

2.6.2迭代法的收敛性52

本章小结61

习题62

第3章方程的近似解法65

3.1根的搜索与二分法65

3.1.1根的搜索65

3.1.2二分法67

3.2迭代法70

3.3牛顿法75

3.4弦截法81

本章小结85

习题86

第4章插值与数据拟合88

4.1拉格朗日插值89

4.1.1线性插值89

4.1.2二次插值92

4.1.3 n次拉格朗日插值多项式94

4.2分段插值96

4.2.1分段线性插值96

4.2.2分段二次插值97

4.3差商与牛顿插值公式98

4.3.1差商99

4.3.2牛顿插值多项式100

4.3.3 牛顿插值多项式的余项估计103

4.4.1差分的概念与差分表104

4.4差分与等距节点插值公式104

4.4.2等距节点插值公式106

4.5三次样条插值109

4.5.1三次样条函数的定义109

4.5.2三次样条插值函数的构造110

4.5.3边界条件112

4.6曲线拟合的最小二乘法115

4.6.1问题的引出115

4.6.2用最小二乘法解矛盾方程组117

4.6.3用多项式作最小二乘曲线拟合119

本章小结125

习题126

第5章数值积分与数值微分128

5.1梯形公式、辛甫生公式与柯特斯公式129

5.1.1梯形公式129

5.1.2辛甫生公式132

5.1.3柯特斯公式134

5.2龙贝格求积公式138

5.3高斯公式143

5.4数值微分148

本章小结153

习题153

第6章 常微分方程初值问题的数值解法155

6.1欧拉方法155

6.1.1欧拉折线法155

6.1.2欧拉方法的改进158

6.2龙格—库塔方法163

6.3阿达姆斯公式169

6.3.1阿达姆斯外推公式169

6.3.2阿达姆斯内插公式171

6.3.3求开头三个点函数值的方法173

6.4微分方程组及高阶微分方程176

6.4.1一阶微分方程组176

6.4.2高阶微分方程178

本章小节182

习题182

第7章矩阵的特征值与特征向量的计算184

7.1.1幂法185

7.1幂法与反幂法185

7.1.2反幂法190

7.2雅可比方法193

7.3豪斯荷尔德方法202

7.3.1镜像反射矩阵202

7.3.2实对称矩阵的三对角化205

7.3.3对称三对角矩阵的特征值计算207

7.4求矩阵特征值的QR方法212

7.4.1矩阵A的QR分解213

7.4.2 QR方法216

本章小结217

习题218

参考文献220