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第八章多元函数微分法及其应用1

1多元函数的极限1

一、多元函数的概念1

二、二元函数的几何意义2

三、点函数的极限3

四、多元函数的连续性6

习题8.18

2偏导数9

一、偏导数概念9

二、二元函数偏导数的几何意义12

习题8.213

3全微分及其应用13

一、全微分概念13

二、全微分在近似计算中的应用17

习题8.319

4方向导数20

习题8.422

5复合函数的微分法32

一、连锁规则22

二、一阶全微分形式的不变性28

习题8.529

6隐函数微分法30

一、由方程确定的隐函数30

二、由方程组确定的隐函数32

习题8.636

7高阶偏导数37

习题8.742

8偏导数的几何应用43

一、空间曲线的切线与法平面43

二、曲面的切平面与法线47

习题8.850

9多元函数的极值1

一、极值51

二、最大值与最小值52

三、条件极值53

习题8.957

10 最小二乘法简介58

11二元函数的泰勒公式60

补充题63

阅读材料八 二重极限和二次极限63

第九章重积分66

1二重积分的概念与性质66

一、二重积分的概念66

二、二重积分的基本性质68

习题9.170

2二重积分的计算方法71

一、用直角坐标计算71

二、用极坐标计算79

三、二重积分的换元公式84

习题9.285

3三重积分87

一、三重积分的概念和计算87

二、用柱面坐标计算三重积分90

三、用球面坐标计算三重积分92

习题9.396

4重积分的应用98

一、曲面的面积98

二、物体的重心101

三、转动惯量104

习题9.4105

5含参变量的积分106

习题9.5112

补充题113

第十章曲线积分与曲面积分115

1对弧长的曲线积分115

一、对弧长的曲线积分的概念115

二、对弧长的曲线积分的基本性质117

三、对弧长的曲线积分的计算法118

习题10.1121

2对坐标的曲线积分122

一、对坐标的曲线积分的概念122

二、对坐标的曲线积分的基本性质125

三、对坐标的曲线积分的计算法126

四、第一、二类曲线积分之间的关系130

习题10.2131

3曲线积分与路径无关的条件132

一、格林公式132

二、曲线积分与路径无关的条件135

三、二元函数的全微分求积139

习题10.3143

4对面积的曲面积分144

一、对面积的曲面积分的概念145

二、对面积的曲面积分的基本性质146

三、对面积的曲面积分的计算法147

习题10.4150

5对坐标的曲面积分150

一、对坐标的曲面积分的概念150

二、对坐标的曲面积分的基本性质154

三、两类曲面积分的关系155

四、对坐标的曲面积分的计算法156

习题10.5158

6曲线积分、曲面积分与重积分的关系158

一、斯托克斯公式158

二、空间曲线积分与路径无关的条件162

三、奥-高公式163

习题10.6167

补充题168

第十一章数项级数169

1数项级数的概念169

习题11.1172

2级数的一般性质172

习题11.2178

3正项级数179

一、比较判别法179

二、比值判别法183

三、根值判别法186

四、积分判别法187

习题11.3188

4任意项级数190

一、绝对收敛与条件收敛190

二、绝对收敛级数的重要性质194

习题11.4198

5广义积分敛散性判别法198

一、敛散性判别法199

二、Γ-函数204

三、B-函数206

习题11.5206

补充题207

阅读材料九关于级数敛散性的一些问题208

第十二章幂级数212

1 函数项级数的概念212

2幂级数214

一、幂级数的收敛域214

二、幂级数的运算性质221

习题12.2225

3泰勒级数226

习题12.3234

4函数值的近似计算235

习题12.4238

5 欧拉公式239

6函数项级数的一致收敛240

一、一致收敛的概念240

二、一致收敛的判定242

三、一致收敛级数的重要性质244

四、三个定理的证明247

习题12.6249

补充题249

第十三章傅里叶级数251

1函数的傅里叶级数251

习题13.1257

2奇函数与偶函数的傅里叶级数258

习题13.2261

3半区间上函数的傅里叶级数261

习题13.3263

4任意区间上函数的傅里叶级数263

习题13.4269

5傅里叶级数的指数形式270

习题13.5273

补充题273

阅读材料十 傅里叶级数的产生273

第十四章常微分方程276

1常微分方程的基本概念276

习题14.1281

2可分离变量方程281

习题14.2283

3齐次方程283

一、齐次方程283

二、可化齐次方程288

习题14.3290

4一阶线性方程291

一、一阶线性齐次方程291

二、一阶线性非齐次方程293

三、伯努利方程297

习题14.4299

5全微分方程300

习题14.5306

6可降阶的高阶微分方程306

习题14.6312

7线性微分方程解的结构313

一、二阶线性齐次方程313

二、二阶线性非齐次方程316

三、n阶线性方程317

习题14.7318

8常系数线性微分方程319

一、二阶常系数线性齐次方程319

二、n阶常系数线性齐次方程321

三、二阶常系数线性非齐次方程322

四、n阶常系数线性非齐次方程328

五、应用简介329

习题14.8331

9欧拉方程332

习题14.9333

10幂级数解法简介334

习题14.10337

11 常系数线性微分方程组的初等解法简介338

12 一阶微分方程近似解法简介340

补充题342

阅读材料十一解一阶微分方程的几个问题344

一、求解公式344

二、变量代换344

三、积分因子346

四、隐式方程348

第十五章场论初步352

1矢量分析352

一、矢性函数的概念352

二、矢性函数的图形353

三、矢性函数的极限353

四、矢性函数的导数354

五、矢性函数的微分355

六、矢性函数的积分356

七、例357

习题15.1359

2场的概念360

一、场360

二、数量场的等值面361

三、矢量场的矢量线361

习题15.2362

3数量场的梯度362

一、方向导数362

二、梯度363

习题15.3365

4矢量场的通量与散度366

一、通量366

二、散度368

习题15.4370

5矢量场的环量与旋度370

一、环量与环量面密度370

二、旋度372

习题15.5374

6哈密顿算子374

补充题375

阅读材料十二 几种重要的矢量场简介375

习题答案377

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