《高等数学 上》

预备知识函数1

1实数1

一、实数集1

二、绝对值3

三、邻域3

习题0．14

2函数4

一、函数概念4

二、函数的几个常用性质8

习题0．211

3复合函数13

习题0．314

4反函数15

习题0．417

5初等函数17

一、基本初等函数17

二、初等函数22

习题0．522

6双曲函数23

习题0．625

补充题25

阅读材料一 函数概念的形成与发展26

第一章极限28

1数列的极限28

习题1．133

2函数的极限33

一、自变量趋向无穷大时函数的极限33

二、自变量趋向定值时函数的极限35

三、左极限与右极限37

习题1．238

3无穷小量与无穷大量39

一、无穷小量39

二、无穷大量41

习题1．344

4关于极限的几个定理45

习题1．446

5极限运算法则46

一、无穷小的运算性质47

二、极限四则运算法则48

习题1．552

6极限存在准则两个重要极限54

一、夹逼准则54

二、单调有界准则58

三、柯西60

极限存在准则62

习题1．663

7无穷小的比较63

习题1．766

8函数的连续性66

一、函数的连续性概念67

二、函数的间断点68

习题1．870

9连续函数的运算与初等函数的连续性71

一、连续函数的和、差、积、商的连续性71

二、连续函数的反函数72

三、连续函数的复合函数72

四、初等函数的连续性74

习题1．975

10闭区间上连续函数的性质75

一、最大值最小值定理75

二、介值定理77

三、函数的一致连续性78

习题1．1079

补充题79

阅读材料二 极限概念的形成80

第二章导数与微分81

1导数概念81

一、关于变化率的例81

二、导数的定义83

三、按定义求导数举例84

四、导数的几何意义88

习题2．189

2初等函数的导数90

一、导数的四则运算法则91

二、复合函数的求导法则93

三、反函数的导数97

四、初等函数求导的基本公式和法则99

习题2．2100

3高阶导数102

习题2．3106

4隐函数及参量函数的导数相关变化率107

一、隐函数的导数107

二、参量函数的导数110

三、相关变化率112

习题2．4113

5函数的微分114

一、微分115

二、微分的几何意义117

三、一阶微分形式不变性微分公式117

习题2．5120

6微分在近似计算上的应用121

一、函数的近似公式121

二、函数的误差估计122

习题2．6123

补充题124

阅读材料三 生动的直观确切的概念125

第三章导数的应用126

1中值定理126

一、罗尔定理126

二、拉格朗日中值定理127

三、柯西中值定理130

习题3．1131

2罗必塔法则133

习题3．2138

3泰勒公式139

习题3．3143

4函数的单调性144

习题3．4148

5函数的极值149

一、函数的极值149

二、最大值与最小值问题153

习题3．5154

6曲线的凹凸与拐点156

习题3．6159

7渐近线160

习题3．7163

8函数图形的描绘163

习题8．8167

9曲率167

一、弧长的微分167

二、曲率169

三、曲率圆172

四、曲率中心的计算公式173

五、渐屈线与渐伸线174

习题3．9175

10方程的近似解175

一、弦位法175

二、切线法177

习题3．10179

补充题179

阅读材料四 不等式的微分证法181

第四章不定积分186

1 不定积分的概念186

2基本积分表和不定积分的性质188

习题4．2191

3换元积分法193

一、第一换元法193

二、第二换元法198

习题4．3202

4分部积分法203

习题4．4208

5几种特殊类型函数的积分209

一、有理函数的积分209

二、三角函数的有理式的积分214

三、某些简单无理函数的积分216

习题4．5218

6积分表的使用219

习题4．6221

7不定积分的基本方法概述222

补充题224

阅读材料五 分部积分法的一个分部经验225

第五章定积分227

1定积分概念227

一、定积分问题的例227

二、定积分的定义230

三、定积分的几何意义232

习题5．1233

2定积分的性质234

习题5．2238

3微积分基本公式239

习题5．3245

4定积分的换元法与分部积分法247

一、定积分的换元法247

二、定积分的分部积分法253

习题5．4255

5定积分的近似计算258

一、矩形法与梯形法258

二、抛物线法260

习题5．5262

6广义积分263

一、无穷限的广义积分263

二、无界函数的广义积分266

习题5．6269

补充题270

阅读材料六 微积分史简述272

第六章定积分的应用274

1 微元分析法274

2平面图形的面积276

一、直角坐标系中的面积公式276

二、极坐标系中的面积公式279

习题6．2280

3体积281

一、平行截面面积为已知的立体体积281

二、旋转体的体积282

习题6．3285

4平面曲线的弧长286

习题6．4290

5 旋转体的侧面积290

6功引力液体静压力292

一、变力沿直线作功292

二、引力294

三、液体的静压力295

习题6．6295

7函数的平均值296

习题6．7298

补充题298

第七章矢量代数与空间解析几何299

1空间直角坐标系299

一、空间直角坐标系299

二、两点间的距离300

三、方程的几何意义301

习题7．1303

2矢量基本概念303

习题7．2306

3矢量的运算306

一、矢量的加减法306

二、矢量的数乘308

三、矢量的数积310

四、矢量的矢积310

五、矢量的混合积313

习题7．3314

4平面与直线316

一、平面的方程316

二、空间直线的方程319

三、点、直线、平面的位置关系322

四、平面束324

习题7．4325

5一些空间曲面与曲线327

一、柱面327

二、旋转曲面329

三、锥面331

四、几种常见的二次曲面332

五、空间曲线的参数方程336

六、空间曲线在坐标平面上的投影338

七、空间区域的简图340

习题7．5341

补充题343

阅读材料七 二次曲面的分类344

附表基本积分公式、积分表346

习题答案361